Условие несжимаемости движущейся жидкости

Равенство (3.2), являющееся условием несжимаемости, связывает скорости движущейся жидкости в двух различных сечениях. Между тем, как на это неоднократно обращалось внимание в предыдущих лекциях, в физике важно оперировать с равенствами или уравнениями, отнесенными к одной точке пространства.
Для этого рассмотрим деформацию движущегося кубического элемента жидкости. Если его объем через малый отрезок времени не изменяется, то сумма диагональных элементов тензора деформации равна нулю, т.е.

Здесь u_x, u_y и u_z- смещения граней кубика в направлении соответствующих осей координат. Однако эти смещения связаны со скоростями движения граней (а точнее, частиц жидкости, находящихся в данный момент на этих гранях):

Подставляя эти равенства в (3.22), получаем локальное (относящееся к одной точке пространства) условие несжимаемости в виде

(3.22)

В физике для описания векторных полей, а в нашем случае речь идет о векторном поле скоростей v = v (x,y,z,t), используется понятие дивергенции (истока) поля в данной точке пространства. В декартовой системе координат выражение для div v имеет вид:

(3.23)

Дивергенция вектора является скалярной функцией координат и времени и легко рассчитывается, если известны компоненты векторного поля (в нашем случае v_x, v_y и v_z). Поэтому условие (3.22) постоянства объема несжимаемой жидкости записывается кратко:

(3.24)

Отметим, что уравнение (3.24) является одним из основных уравнений гидродинамики несжимаемой жидкости.
Следует отметить, что имеется множество векторных полей, как, например, электрическое E = E (x,y,z,t) и магнитное B = B (x,y,z,t) поля и др., при описании которых также широко используется понятие дивергенции: div E или div B и т.д. Хотя она определяется в соответствии с (3.23), вводится, однако, несколько из других соображений, поскольку в электродинамике не идет речь о движении и деформации элемента материальной среды.
На примере векторного поля скоростей v = v (x,y,z,t) поясним фундаментальный смысл понятия дивергенции.
Для этого рассмотрим неподвижный элементарный объем пространства. dV=dxdydx и посчитаем объем жидкости, втекающий и вытекающий из этого объема за единицу времени.
Введем понятие элементарного потока вектора скорости v через маленькую площадку dS:

(3.25)

где d S = n dS - вектор, направленный по нормали n к элементарной площадке. Ясно, что поток (3.25) равен объему жидкости, пересекающей площадку dS за единицу времени (рис. 3.12). Он допускает также наглядную геометрическую интерпретацию. В самом деле, в соответствии с определением линий тока, данным в начале этой лекции, их густота характеризует скорость течения. Поэтому величине скорости всегда можно поставить в соответствие количество линий тока, пересекающих площадку с dS=1 и n || v. Тогда поток dN_v в (3.25) будет характеризоваться числом линий, пересекающих площадку при ее произвольной ориентации.

Рис. 3.12.

Теперь легко посчитать баланс между втекающей и вытекающей жидкостью для элементарного объема, изображенного на рис. 3.12. Для этого восстановим внешние нормали по всем 6-ти граням кубика и посчитаем потоки жидкости через его грани. Легко понять, что положительное значение потока будет для вытекающей жидкости, а отрицательное - для втекающей. Если скорость в центре кубика v (x,y,z) изменяется при приближении к соответствующим граням, то при вычислении такого потока это необходимо учесть. Результирующий поток определится следующим образом:

(3.26)

Разделив левую и правую части (3.26) на dxdydz и переходя к пределу, получаем

(3.27)

Таким образом, дивергенция вектора скорости численно равна потоку жидкости через поверхность единичного объема. Если жидкость несжимаема, то, естественно, этот поток должен быть равен нулю. Графически последнее интерпретируется как равенство количества входящих и выходящих линий тока для этого объема. Это, в свою очередь, означает, что в окрестности точки, где div v=0, линии тока не прерываются. Поэтому равенство div v=0 называют условием неразрывности.
Из школьного курса физики известно, что силовые линии электростатического поля (аналог линий тока) прерываются только на зарядах. Поэтому для областей, не занятых зарядами, мы также вправе написать . Силовые линии индукции магнитного поля B всегда замкнуты, поэтому во всех случаях div B=0.