Метод золотого сечения и метод Фибоначчи

Метод почти половинного деления требует на каждой итерации двух вычислений значений функции: в точках и . Имеются два схожих по идее, но более экономных метода, в которых каждая итерация требует только одного нового вычисления значения функции. Если основные вычислительные усилия на каждой итерации приходятся именно на вычисление значений функции (так, как правило, и бывает), то это приводит к ускорению вычислений примерно вдвое по сравнению с методом почти половинного деления.

Один из методов называется метод золотого сечения. В этом методе длины последовательных отрезков должны давать одно и то же число :

Рис.9.17.Три последовательных отрезка

При этом , откуда легко получить, что число удовлетворяет равенству . Решая это уравнение, получаем, что . Таким образом, на первом шаге на отрезке вычисляются значения в двух точках и , расположенных симметрично на расстоянии от концов отрезка и и делящих отрезок на части, составляющие "золотое сечение". Сравнивая точно так же, как в методе почти половинного деления, значения в этих точках, выбираем в качестве либо , либо . Экономия по сравнению с методом почти половинного деления получается на всех остальных шагах, поскольку если процесс повторить на отрезке при , то одной из точек деления оказывается ранее найденная точка: либо , так что одно из двух значений функции найдено на предыдущей итерации.

Ещё один метод -- метод Фибоначчи -- применяется в тех случаях, когда заранее известно, сколько итераций мы собираемся совершить, и при этом хотим получить наибольшую возможную точность в определении точки минимума. При этом оказывается, что длины отрезков связаны с последовательностью чисел Фибоначчи , заданной начальными значениями и рекуррентной формулой .

Тех, кто заинтересовался этим методом, мы отсылаем за его точным описанием, как и за подробностями метода золотого сечения, к книге [ Моисеев Н. Н., Иванилов Ю. П., Столярова Е. М., Методы оптимизации. -- М.: Наука, 1978].