Лекция 16. Степенные ряды

План лекции

16.1. Функциональные ряды. Степенные ряды. Основные определения. Теорема Абеля.

16.2. Способы нахождения радиуса и интервала сходимости степенного ряда.

16.3. Свойства степенных рядов.

16.4. Разложение функций в степенной ряд. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена).

16.5. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям значений функций, интегралов, пределов.

16.1

Ряд, членами которого является не числа, а функции

(17.1)

- он называется функциональным рядом.

Например, ряд - функциональный ряд. Если в ряде (17.1) придать какое либо значение из области определения функции , то получим числовой ряд

, (17.2)

который может сходиться, а может расходиться. Если ряд (17.2) сходится, то точка называется точкой сходимости функционального ряда (17.1), а если ряд (17.2) расходится, то - точка расходимости ряда (17.1).

Совокупность значений , при которых функции определены и ряд сходится, называют областью сходимостифункционального ряда.

Функциональный ряд (17.1) называется абсолютно сходящимся в данной точке , если числовой ряд (17.2) сходится абсолютно, то есть должен сходиться ряд .

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

,(17.3)

где -постоянные вещественные числа, называемые коэффициентами степенного ряда.

Часто рассматривают степенной ряд вида

(17.4)

Используя замену можно из (17.4) получить (17.3). Для установления области сходимости ряда (3) справедлива следующая теорема.

Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится при некотором значении , то он сходится, причем абсолютно во всех точках , таких что . Если ряд расходится при некотором значении , то он расходится и во всех точках , таких что .

Теорема Абеля позволяет судить о расположении точек сходимости и расходимости степенного ряда.

Действительно, если точка сходимости, то весь интервал заполнен точками абсолютной сходимости.

Если точка расходимости, то и - ряд расходится.

Из этого можно заключить, что существует такое число , что при ряд сходится абсолютно, а при - расходится. При этом число - называется радиусом сходимости степенного ряда. Интервал - интервал сходимости степенного ряда. На концах интервала, то есть при вопрос о сходимости или расходимости данного ряда решается индивидуально для каждого конкретного ряда.

Любой степенной ряд вида (17.3) сходится при (ряд (17.4) сходится при ), так как в этом случае все члены ряда, кроме первого нули.

Например, ряд сходится лишь в точке , так как при ряд расходится, так как по правилу Даламбера . У этого ряда радиус сходимости равен нулю.

Есть степенные ряды, которые сходятся на всей числовой оси. Например, ряд . Действительно, . Область сходимости этого ряда , - радиус сходимости ряда.

16.2

Рассмотрим степенные ряды, у которых область сходимости не совпадает со всей числовой осью и не является одной точкой.

Для отыскания интервала и радиуса сходимости степенного ряда применим один из следующих способов.

1 способ. Если среди коэффициентов ряда (17.3) - нет равных нулю, то .

2 способ. Применим и в случае если есть коэффициенты равные нулю. Он основан на теореме Коши - Адамара.

Положим . Тогда радиус сходимости определяется формулой

. (17.5)

Для доказательства этой формулы воспользуемся радикальным признаком Коши сходимости, то есть запишем

. Отсюда получаем следствия.

1 следствие. Если , то ряд расходится, следовательно .

2 следствие. Если , то , следовательно .

3 следствие. Если , тогда , отсюда , следовательно .

3 способ. Интервал сходимости можно находить, применяя признак Даламбера или радикальный признак Коши к ряду, составленному из абсолютных величин членов исходного ряда.

Пример 1. определить интервал сходимости (по принципу Даламбера). Ответ .

Пример 2. определить интервал сходимости (по принципу Даламбера). Сходится при , при ; расходится при .

Пример 1. А) Определить область сходимости степенного ряда:

Воспользуемся формулой Коши – Адамара:

.

Тогда интервал сходимости , то есть .

В точках и исследуем отдельно:

При

При .

Применим необходимый признак сходимости рядов:

, так как , то есть следовательно при и ряд расходится

Ответ: - интервал сходимости.

Б)

Пример 2. А)

Решение:

Воспользуемся признаком Даламбера

при ряд с положительным членом так как

, то есть при , следовательно, ряд расходится.

при ряд сходится, но условно.

Б) - интервал сходимости.

16.3

Пусть степенной ряд (17.3) имеет радиус сходимости .

Теорема 1. Сумма степенного ряда внутри его промежутка сходимости является непрерывной функцией.

Теорема 2. Степенной ряд (17.3) с радиусом сходимости на любом отрезке , где можно почленно интегрировать, так что если ,

то .

Замечание. Полученный в результате почленного интегрирования ряд имеет тот же радиус сходимости, что и исходный ряд.

Теорема 3. Степенной ряд (17.3) внутри его промежутка сходимости можно дифференцировать почленно. Причем в результате дифференцирования получаем степенной ряд .

Следствие. Во всем интервале сходимости ряд (17.3) можно почленно дифференцировать сколько угодно раз, то есть степенной ряд допускает бесконечное дифференцирование, а сумма его бесконечно дифференцируемая функция.

Пример 1. Найти сумму ряда

Решение. Рассмотрим ряд , исследуем его на сходимость.

-сходится (при - расходится). Сумма этого ряда

Проинтегрируем этот ряд.

Пример 2. Найти сумму ряда

Решение.

Воспользуемся бесконечной геометрической прогрессией

(сходится при ).

Дважды продифференцируем ряд:

16.4