Случай 2. Одинаково распределенные независимые игры

Это соответствует ставкам на два различных ряда бросков одной и той же монеты. E(G(f₂) — G(f₁)) - как и прежде. Но теперь Var(G(f₂) — G(f₁)) =Vаr(G(f₂))+Var(G(f₁)), потому что G(f₂) и G(f₁) теперь независимы. Таким образом, Var(G(f₂) — G(f₁))=

Пусть

Тогда в случае 1, V₁=(pq/n)(a - b)², а в случае 2, V₂ =(pq/n)(a² + b²) и так как a, b > 0, то V₁ < V₂, как и ожидалось. Мы можем теперь сравнить стратегию Келли с другими стратегиями фиксированных долей, чтобы определить вероятность лидерства Келли после n попыток. Обратите внимание, что эта вероятность всегда больше 1/2 (с точностью непрерывного приближения, которое является аппроксимацией биноминального распределения с помощью нормального, с его известными и полностью изученными свойствами), потому что g(f*) — g(f) > 0, где f *= p — q и f ≠ f* - некоторая альтернатива. Это может не быть истинным для малых n, когда аппроксимация неточна. В предельном случае, если n=1, любое f > f* побеждает Келли с вероятностью p > 1/2. Если же n=2, f > f* побеждает с вероятностью p² и p² > 1/2, если p>1/√2 =0.7071. Также, если f<f*, то эта стратегия выигрывает с вероятностью 1 - p² и 1 - p² > 1/2, если p² < 1/2, то есть p < 1/√2 =0.7071. Итак, когда n=2, Келли всегда проигрывает некоторому другому f больше половины времени пока не выполняется p= 1/√2.

Теперь у нас есть формулы, с которыми мы можем исследовать много практических применений критерия Келли.