Модель нелинейной ФП ПМ

Пусть в общем случае ФП ПМ является теоретически нелинейной.

Напомним, что при конструировании механизма часто применяют более простую схему, приближенно воспроизводя­щую заданный (требуемый) закон движения – при этом возникает теоретическая нелинейность - погрешность схемы D_CX.

1) Требуемая Номинальная ФП – линейная функция в диапазоне преобразования Dх по входу (и Dу по выходу).

2) Номинальная Чувствительность

k = dy/dx = Dy/Dx = Dy/Dx –

постоянная по всему диапазону.

3) Функция преобразования (ФП) теоретического заменяющего механизма f _теор. – нелинейная, имеет точку перегиба.

Такие f _{теор .} характерны для рычажных ПМ.

Выражения для f _{теор .} содержат тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Аналитические исследования таких ФП весьма громоздкие и сложные. (Компьютерные методы значительно упростили проблему.)

Введем простое и универсальное описание нелинейной теоретической функции преобразовании механизма, которая является типичной для целого класса механизмов.

Dх и Dy диапазоны перемещения входного и выходного звеньев.

Известно, что функция у=f_теор(x) может быть представлена в виде разложения в точке в ряда Тейлора (степенного ряда). Такое разложение ФП _теор. в точке перегиба имеет вид:

Перенесем начало новой системы координат в точку (, )- середина диапазона и точка перегиба ФП. Переход к новой С.К.:

Тогда получим

Здесь надо отметить следующее:

· первое слагаемое ряда – линейная составляющая f_теор(x)- прямая касательная к f_теор(x) в точке перегиба;

· остальные члены ряда – характеризуют отклонение ФП от линейной функции – 2-го,3, 4, 5, и т.д. порядков

· чем выше порядок производной, тем меньше значимость члена ряда;

· если ФП _теор нечетная функция с точкой перегиба в середине исследуемого диапазона Дх, то производные четных степеней (2-й,4,6,…) тождественно равны нулю:

·

Т.о., отбросив все члены ряда, кроме первых двух, получим выражение для модели ФП_теор:

Обозначим коэф-ты при х как параметр чувствительности ζ и параметр нелинейности ξ функции преобразования:

-(дзета)

-(кси)

Модель теоретической ФП:

Схемные Параметры z и x вычисляются как производные от ФП и поэтому зависят от одних и тех же параметров (размеров звеньев) ПМ, а значит, зависят друг от друга:

z = Y₁(x) и x = Y₂(z).

3.2. Задача синтеза ПМ по критерию минимума погрешности схемы D_CX.

Формулировка задачи: Требуется спроектировать передаточный механизм, который в некотором заданном диапазоне Dx, обладал бы чувствительностью k, а расхождение между требуемой (номинальной) функцией преобразования и расчетной (теоретической нелинейной) функцией преобразования, было бы минимальным и не превышало бы некоторого заданного допустимого значения .

.

Графическая интерпретация задачи на рисунке – необходимо вписать f_Теор в поле допуска, определенного границами ± [D] вокруг f _Ном, так чтобы уклонение f_Теор от f _Ном было бы минимальным.

Решение этой задачи синтеза проводят в два этапа:

1.выбираем схему теоретического заменяющего механизма, обеспечивающего преобразование движений в требуемом диапазоне Dx (и Dy) и функция преобразования которого не выходит за границы ± [D]. (это структурный синтез ПМ – выбор схемы механизма).

2. определяем (вычисляем) схемные параметры ПМ z, x а, следовательно, и размеры звеньев ПМ, обеспечивающие наилучшее приближение теоретической ФП к номинальной ФП. (этап оптимизации параметров ПМ по заданному критерию)…

3.3. Погрешность схемы ПМ – критерий качества синтеза ПМ.

Погрешность схемы D_CX (х) – это функция, определяемая разностью f_Теор и f _Ном. на диапазоне Dx.

здесь k - номинальная чувствительность,

схемные параметры z - чувствительность, x - нелинейность..

Выбирая различные значения схемных параметров (т.е. размеров звеньев) можно получить разные варианты приближения функции теоретического заменяющего ПМ f_Теор к номинальной ФП f_Ном (графики 1,2,3 и др.) и разные погрешности схемы D_CX(х).

Для числовых оценок Погреш. Схемы D_CX (х) можно использовать:

1) значения этой функции в отдельных точках ( D_{CX наиб -,} D_{CXмах, -} см.обозначения на графиках ).

2) некоторые интегральные характеристики D_CX.

Рассмотрим разные варианты приближения f_теор к f _ном.

1-й вариант. Вблизи точки перегиба ФП - хорошее совпадение.

Наибольшая погрешность D_{CX наиб} получается на краях диапазона Dx.

Для определения D_{CX наиб} подставим х=±Dx/2 в выражение для погрешности схемы

Получим

3-й вариант.

Погрешность на краях и в середине равна 0. экстремумы D_CXмах меньше, чем D_{CX наиб}

2-й вариант. Р авномерное приближение по Чебышеву D_CXмах=D_CXнаиб (МИНИМАКС)

Точечные критерии 1.2,3 – простые, но не всегда эффективные.

4-й вариант. Интегральный критерий- среднее квадратичное значение(СКО) погрешности схемы D_CX(х) должно быть минимальным. Название метода – метод наименьших квадратов (М.Н.К.)

Суть МНК: теоретическая ФП f_Теор так расположена относительно номинальной ФП f _{Ном ,}, что среднее значение суммы квадратов отклонений этих функций друг от друга, определенное по всем (n) точкам диапазона Dx, является минимальным.

- суммирование показано условно, должно быть заменено интегрированием.