величини 4 страница

ТЕМА 2. НАЙБІЛЬШ ПОШИРЕНІ ЗАКОНИ РОЗПОДІЛУ

Розглянемо найбільш поширені закони розподілу випадкових величин.

1. Біноміальний розподіл. Цілочислова випадкова величина (ДВВ) має біноміальний закон розподілу, якщо ймовірність її можливих значень обчислюється за формулою Бернуллі:

,

де .

Числові характеристики розподілу визначаються наступним чином:

, , .

2.Пуассонівський розподіл. Цілочислова випадкова величина (ДВВ) має пуассонівський закон розподілу, якщо ймовірність її можливих значень обчислюється за формулою Пуассона:

,

де , .

Числові характеристики розподілу визначаються наступним чином:

, , .

3. Геометричний розподіл. Цілочислова випадкова величина (ДВВ) має геометричний закон розподілу, якщо ймовірність її можливих значень обчислюється за формулою

,

де .

Тут − ймовірність появи випадкової події в кожній спробі – є величиною сталою, . Числові характеристики розподілу визначаються наступним чином:

, , .

4. Рівномірний закон розподілу. Неперервна випадкова величина (НВВ) , що визначена на проміжку , має рівномірний закон розподілу, якщо

Функція розподілу ймовірностей

Числові характеристики:

, , , .

5. Нормальний розподіл. Неперервна випадкова величина (НВВ) має нормальний закон розподілу ймовірностей, якщо її функція щільності має вигляд:

, ,

де , .

Отже, нормальний закон визначається звідси параметрами і і називається загальним. Тоді функція розподілу

, .

Для обчислення ймовірності попадання в інтервал використовують наступні формули

.

6. Експоненціальний закон розподілу. Неперервна випадкова величина (НВВ) має експоненціальний закон розподілу, якщо

Функція розподілу ймовірностей

Числові характеристики:

, , , .

7. Бета-розподіл. Неперервна випадкова величина (НВВ) має бета-розподіл, якщо

де .

Позначимо

,

тоді функція розподілу ймовірностей у цих позначеннях буде

Числові характеристики:

, , .

8. Розподіл Вейбулла. Неперервна випадкова величина (НВВ) має розподіл Вейбулла, якщо

Функція розподілу ймовірностей

Числові характеристики:

, ,

.

Нормальному закону розподілу належить центральне місце в побудові статистичних моделей у теорії надійності та математичній статистиці.

9. Розподіл (хі-квадрат). Якщо кожнаіз незалежних випадкових величин (НВВ) характеризується нормованим законом розподілу ймовірностей , то випадкова величина матиме розподіл із ступенями свободи, щільність ймовірностей якої буде

Функція розподілу ймовірностей

Числові характеристики:

, , .

10. Розподіл . Щільність ймовірностей розподілу визначається наступною формулою

11. Розподіл . Випадкова величина має розподіл , якщо

Функція розподілу ймовірностей

Числові характеристики:

, , .

12. Розподіл . Щільність ймовірностей розподілу визначається наступною формулою

Завдання 5. Біноміальний закон розподілу

Приклад 9. Прилад складається з трьох незалежно працюючих елементів. Ймовірність того, що елемент не працює в довільний момент часу, дорівнює 0,1. Дискретна випадкова величина Х – число елементів, що не працюють у довільний момент часу, розподілена за біноміальним законом розподілу. Необхідно:

1. Знайти ряд розподілу Х.

2. Побудувати многокутник ймовірностей.

3. Знайти , , .

4. Знайти найімовірніше значення величини Х.

5. Обчислити ймовірність попадання випадкової величини в задані інтервали , , .

Розв'язання: Зробимо аналіз задачі та визначимо, які конкретні значення може набути ДВВ Х. Середтрьох незалежно працюючих елементів число елементів, що не працюють у довільний момент часу, може дорівнювати 0 (всі елементи працюють), 1 (не працює один елемент), 2 (не працює два елементи) або 3 (всі елементи не працюють).

У табличній формі закон розподілу цієї дискретної випадкової величини можна записати:

Обчислимо ймовiрностi , застосовуючи формулу Бернуллі. Враховуючи, що за умовою задачі , (значить, ), маємо:

,

,

,

.

Занесемо одержані значення в таблицю та перевіримо обчислення за властивістю ряду розподілу:

	0,729	0,243	0,027	0,001

.

Будуємо многокутник розподілу (рисунок 15):

Рисунок 15

Обчислюємо числові характеристики:

,

,

.

Знайдемо найімовірніше значення величини Х із нерівності:

.

Тоді

,

.

Значить, найімовірнішим значенням величини Х є нуль і .

Обчислимо ймовірності попадання випадкової величини в задані інтервали , , .

=0,

= ,

.

ЗАДАЧІ

Дискретна випадкова величина Х розподілена за біноміальним законом розподілу. Необхідно:

6. Знайти ряд розподілу Х.

7. Побудувати многокутник ймовірностей.

8. Знайти , , .

9. Знайти найімовірніше значення величини Х.

10. Обчислити ймовірність попадання випадкової величини в задані інтервали , , .

3.1. Робітник виготовляє однотипні деталі. Відомо, що при виготовленні однієї деталі ймовірність допустити брак дорівнює 0,1. Навмання беруть 10 деталей. ДВВ Х – число стандартних деталей серед десяти взятих навмання.

3.2. Маємо партію дисків. Ймовірність того, що навмання взятий диск виявиться бракованим, дорівнює 0,01. Навмання беруть 10 дисків. ДВВ Х – кількість дисків, що пройшли контроль.

3.3. В комп’ютерному залі 15 ПК. Ймовірність виходу комп’ютерної мишки з ладу за рік роботи 0,3. ДВВ Х – кількість комп’ютерних мишок, що вийшли з ладу за рік.

3.4. В урні міститься 6 чорних та 4 білих кулі. Кулі виймаються навмання по одній з повертанням. Провели дев’ять виймань. ДВВ Х – кількість чорних куль серед дев’яти вилучених навмання.

3.5. В ящику містяться 12 деталей 1-го сорту, 3 деталі 2-го сорту, 4 деталі браковані. Деталі вилучають по одній з повертанням. Провели десять вилучень. ДВВ Х – число придатних деталей при десяти вилученнях.

3.6. На склад магазину надійшли нові вироби, 80% яких вищого ґатунку. Навмання беруть вісім виробів. ДВВ Х – кількість виробів вищого ґатунку серед восьми взятих навмання.

3.7. Контролер перевіряє вироби на стандартність. Ймовірність того, що стандартний виріб контролером буде виявлений придатним, постійна і дорівнює 0,9. Контролером було перевірено десять виробів. ДВВ Х – число стандартних виробів, виявлених придатними.

3.8. Ймовірність того, що покупець, який зайшов до магазину, щось купить, дорівнює 0,1. Магазин відвідали дев’ять покупців. ДВВ Х – кількість покупців, що зробили купівлю.

3.9. Прилад складається з десяти незалежно працюючих елементів. Ймовірність того, що елемент працює в довільний момент часу, дорівнює 0,9. ДВВ Х – число елементів, працюючих у довільний момент часу.

3.10. Маємо вісім однакових ящиків. В кожному з них знаходиться по 9 стандартних і одній бракованій деталі. З кожного ящика беруть по одній деталі. ДВВ Х – кількість стандартних деталей серед восьми вилучених.

3.11. Гральний кубик кидається 10 разів. ДВВ Х − число разів появи грані з цифрою шість.

3.12. Монета кидається 11 разів. ДВВ Х – число разів випадання цифри.

3.13. Працівник обчислювального залу перевіряє дискети на наявність вірусів. Ймовірність наявності вірусу на дискеті 0,05. Перевіряється 10 дискет. ДВВ Х – кількість заражених вірусом дискет.

3.14. В коробці лежать 5 червоних та 8 білих куль. Кулі виймаються навмання по одній з повертанням. ДВВ Х – кількість білих куль серед 9 витягнутих.

3.15. Ймовірність того, що покупець, який зайшов у супермаркет, зробить покупки, дорівнює 0,3. ДВВ Х – число покупців, що зробили покупку серед 10 навмання взятих.

3.16. В комп’ютерному залі 12 ПК. Ймовірність виходу ПК з ладу при зміні напруги дорівнює 0,03. ДВВ Х – кількість ПК, які вийшли з ладу в результаті зміни напруги.

3.17. В ящику міститься 3 диски CD-RW та 7 дисків CD-R. Диски витягуються по одному з поверненням. ДВВ Х – кількість дисків CD-R серед 10 витягнутих.

3.18. Кожен з програмістів допускає помилку при складанні програми з ймовірністю 0,1. ДВВ Х – кількість програмістів, що допустили помилку серед 12 взятих навмання.

3.19. Ймовірність успішного виконання вправи спортсменом 0,6. ДВВ Х – кількість спортсменів, що успішно виконали вправи серед 9 навмання взятих.

3.20. Ймовірність успішного завантаження WEB-документа в бізнес-час дорівнює 0,15. ДВВ Х – кількість WEB-документів успішно завантажених на 10 ПК.

3.21. Студент вивчив 20 білетів із 30. Білети вилучаються по одному з повертанням. Зроблено 12 спроб. ДВВ Х – кількість вивчених білетів серед 12 взятих.

3.22. При підготовці текстового документа на ПК користувач допускає помилку на сторінці А4 з ймовірністю 0,25. Підготовлено 10 сторінок. ДВВ Х – кількість сторінок без помилок.

3.23. В коробці знаходиться 5 дискет виробництва Sony та 7 дискет виробництва TDK. Дискети виймаються по одній з повертанням. ДВВ Х – кількість дискет виробництва Sony серед 10 витягнутих навмання.

3.24. В ящику міститься 7 стандартних і 3 браковані деталі. Деталі вилучають по одній з повертанням. Виконали десять вилучень. ДВВ Х – кількість стандартних деталей серед десяти вилучених навмання.

3.25. Гральний кубик кидається 8 раз. ДВВ Х − число разів появи грані з цифрою чотири.

Завдання 6. Ймовірність попадання випадкової величини

у заданий інтервал

Приклад 10. Знайти ймовірність попадання неперервної випадкової величини в задані інтервали та , якщо вона розподілена за законом:

1. Рівномірний розподіл на інтервалі .

2. Показниковий розподіл з математичним сподіванням, що дорівнює .

3. Нормальний розподіл з математичним сподіванням рівним і середнім квадратичним відхиленням .

4. Записати вигляд функції розподілу кожного закону та визначити числові характеристики , , , , .

а	b	c	d	m

Розв’язання: 1) Для визначення рівномірного закону розподілу використаємо формулу

.

Тоді

.

Отже, функція розподілу буде мати вигляд:

.

Визначимо числові характеристики:

,

,

,

.

Для обчислення ймовірності попадання в інтервал використаємо співвідношення (4)

.

Маємо .

Для обчислення ймовірності попадання в інтервал врахуємо, що , тобто . Тоді

.

Отже, .

2) Показниковий (експоненціальний) закон розподілу з і буде мати вигляд:

.

Отже, функція розподілу запишеться у вигляді:

.

Числові характеристики будуть мати наступні значення:

(за умовою),

,

,

.

Для обчислення ймовірності попадання в інтервал використаємо співвідношення (4). Тоді

.

Враховуючи, що інтервал , маємо

,

.

3) За умовою НВВ розподілена за нормальним законом з і . Тоді функцію щільності розподілу можна записати у вигляді:

,

, .

А функцію розподілу у вигляді .

Тоді

.

Числові характеристики: , .

Ймовірність попадання в інтервал обчислюється за формулою

,

де − функція Лапласа, значення якої наведені в таблицях (додаток 2, [8]). Отже маємо,