Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных) решения систем линейных уравнений

Под элементарными преобразованиями системы линейных уравнений понимаются следующие операции:

1) умножение какого-либо уравнения системы на число, отличное от нуля;

2) прибавление к одному уравнению другого уравнения;

3) перемена местами уравнений в системе.

Комбинируя элементарные преобразования первого и второго типов, мы можем к любому уравнению прибавить другое уравнение, умноженное на произвольное число.

Производя элементарные преобразования в системе, мы получаем новую систему. Очевидно, что каждому элементарному преобразованию системы соответствуют аналогичные преобразования над строками расширенной матрицы этой системы и, наоборот, каждому элементарному преобразованию строк расширенной матрицы соответствует некоторое элементарное преобразование в системе. Таким образом, элементарные преобразования в системе сводятся к соответствующим преобразованиям над строками ее расширенной матрицы.

Определение. Две системы линейных уравнений от одних и тех же неизвестных называются равносильными, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот (или если обе системы несовместны).

Заметим, что число уравнений в равносильных системах может быть различным.

Теорема. При элементарных преобразованиях система линейных уравнений переходит в равносильную систему.

(Без доказательства)

Сущность метода Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к такому виду, чтобы матрица системы оказалась треугольной. Для упрощения изложения мы будем иметь дело не с самой системой (6), а с расширенной матрицей этой системы (производя при этом элементарные преобразования только над строками матрицы).

Пример 15. Решить систему уравнений методом Гаусса

Запишем расширенную матрицу системы

.

Нашей целью является приведение матрицы к треугольному виду. Для этого будем выполнять элементарные преобразования над строками матрицы. Первую строку выбираем в качестве ведущей (у нее элемент ). К элементам первой строки прибавим соответствующие элементы второй строки, а от третьей строки отнимем первую, умноженную на 2. Получим систему, равносильную данной:

Вычтем из третьей строки вторую, умноженную на 9:

Получили систему треугольного вида. Из последней строки матрицы получаем уравнение из которого находим

Второй строке матрицы соответствует уравнение: Подставляя найденное значение в это уравнение, получаем Подставляя в первое уравнение системы значения , получаем

Ответ: (−2; 1; 3).