Теоретична частина. У положенні стійкої рівноваги (ПСР) потенціальна енергія має найменше значення, тобто центр маси (ЦМ) тіла у полі тяжіння Землі займає найнижче положення

У положенні стійкої рівноваги (ПСР) потенціальна енергія має найменше значення, тобто центр маси (ЦМ) тіла у полі тяжіння Землі займає найнижче положення. При незначних відхиленнях від цього стану виникає зворотна сила, яка намагається повернути систему у ПСР. Ця сила прямо пропорційна величині відхилення, а тому можливі гармонічні коливання. Одним із прикладів таких коливань можуть бути коливання симетричних (відносно геометричного центра) тіл, у яких ЦМ не співпадає з геометричним центром, якщо ці тіла знаходяться на горизонтальній, або на угнутій поверхні.

На рис.24.1 показані в перерізі два положення суцільного циліндра радіуса R з циліндричним отвором значно меншого радіуса r, центр якого позначений О₁. Циліндр знаходиться на горизонтальній поверхні. Положення стійкої рівноваги показане літерами АВ. Центр маси займає при цьому найнижче положення. Якщо трохи відкотити

циліндр від ПСР так, що радіус ОА повернеться на кут φ, то потенціальна енергія зросте, тому що ЦМ підніметься на деяку висоту h відносно попереднього положення. Збільшення потенціальної енергії можна розрахувати як збільшення енергії уявного циліндра радіуса r з центром в точці О₂, яка розміщена симетрично з точкою О₁ відносно центра великого циліндра О.

При повертанні великого циліндра на кут φ точка О₂ підніметься на висоту h, яка дорівнює:

, (24.1)

де = ОО₁ = ОО₂. При значеннях кута φ, що не перевищують 10^о

можна користуватись наближеною рівністю (φ в радіанах).

Отже, Тобто, збільшення потенціальної енергії всього циліндра: , (24.2)

де m – маса уявного циліндра радіуса r з центром О₂. З цього нестійкого положення циліндр (якщо його відпустити) почне повертатись у ПСР і потенціальна енергія буде поступово перетворюватись у кінетичну. Цю енергію розрахуємо як енергію обертання відносно миттєвої осі дотику поверхні циліндра до горизонтальної поверхні

(точка А): , (24.3)

де І – момент інерції циліндра відносно миттєвої осі обертання, який обчислюється за теоремою Штейнера. При цьому від моменту інерції суцільного циліндра віднімаємо момент інерції циліндра, який мав би бути у отворі з центром О₁:

, (24.4)

де М – маса суцільного циліндра, m – маса циліндра, що мав би бути у отворі. Формула (24.3) кінетичної енергії набуває такого вигляду:

, 24.5)

де dj/dt = w – кутова швидкість обертання циліндра відносно миттєвої осі. Необхідно відмітити, що момент інерції уявного циліндра з центром О₁ відносно миттєвої осі не буде сталим, але для малих φ залежність моменту інерції від φ можна не враховувати. Вважаємо також коливання незатухаючими, тобто, для будь-якого моменту часу сума потенціальної і кінетичної енергій залишається сталою:

, (24.6)

або після ділення на маємо:

. (24.7)

Знайдемо похідну за часом від (24.7):

Після спрощень одержуємо:

(24.8)

Це диференціальне рівняння вільних незатухаючих гармонічних коливань, де множник перед φ дорівнює квадрату циклічної частоти ω²:

(24.9)

Зв'язок між періодом Т і частотою ω має вид 2π/Т = ω, тому:

(24.10)

Очевидно, що: М = πR²Lρ, a m = πr²Lρ; де ρ – густина матеріалу, а L – довжина циліндра. Зважимо також на те, що і отримаємо наближену формулу:

(24.11)

За формулою (24.11), виміривши лінійкою з точністю до 1 мм R, r і , розра­ховується теоретичне значення періоду.

Другий випадок коливань на горизонтальній поверхні розглянемо на прикладі тонкостінного циліндра радіуса R, в якому до внутрішньої поверхні прикріплений малий циліндр радіуса r так, що осі обох циліндрів паралельні. Перпендикулярний до осей циліндрів переріз показаний на рис. 24.2.

Позначимо масу великого циліндра М, а малого m. При зміщенні великого циліндра від ПСР на кут φ положення його центра мас по висоті не змінюється, а центр мас малого циліндра піднімається на висоту ,

де = ОО₁. Для невеликого кута φ . Таким чином, при повертанні великого циліндра на малий кут потенціальна енергія зростає на: (24.12)

При повертанні циліндра в ПСР ця потенціальна енергія перетворюється в кінетичну:

, (24.13)

де I₁ = MR² – момент інерції великого циліндра відносно його центра,

I₂ = 1/2mr² + m – момент інерції малого циліндра відносно центра О, w = dj/dt – кутова швидкість повертання великого і малого циліндрів, M u ²/2 – кінетична енергія поступального руху великого циліндра. Кінетичною енергією поступального руху малого циліндра нехтуємо, тому що відносна швидкість його центра маси (зважаючи на те, що R >> r) незначна. Прийнявши до уваги, що , маємо:

(24.14)

Нехтуючи затуханням, вважаємо Е_пот + Е_кін = const, або:

(24.15)

Знайдемо похідну за часом від (24.15):

(24.16)

Після спрощень і перетворень отримуємо:

(24.17)

Формула (24.17) подібна формулі (24.8), тому опираючись на логіку перетворень, які супроводять формули (24.9) і (24.10), маємо:

(24.18)

За цією формулою розраховується теоретичне значення періоду коливань даної конструкції.

Розглянемо ще один випадок коливань на горизонтальній площині тонкостінного циліндра з вирізаною частиною бокової поверхні. Переріз такого циліндра показано на рис. 24.3. Спочатку визначимо положення центра маси такого циліндра. Довільно виділимо елемент бокової поверхні . Візьмемо координатну вісь ОХ вздовж напрямку ОА. Тоді координата елемента x = R cosα. Маса цього елемента , або , де М – маса всього циліндра без вирізу. Тоді за інтегральною формулою знаходимо координати центра маси: , (24.19)

де m_o = Mα_o/(2π). Підставляючи в (24.19) замість x, dm і m_o їх значення, після інтегрування отримуємо:

(24.20)

На рис. 24.3 циліндр показано в стані рівноваги. Якщо його трохи відкотити від ПСР, то радіус ОА повернеться на невеликий кут φ, а центр маси підніметься на висоту

. Для малих значень кута φ: . (24.21)

При цьому потенціальна енергія циліндра збільшиться на величину:

(24.22)

Коли циліндр стане повертатися в ПСР, то потенціальна енергія поступово буде перетворюватись у кінетичну:

, (24.23)

де ω – кутова швидкість відносно миттєвої осі обертання (точка А), а І – момент інерції відносно осі А. Кутова швидкість ω – це перша похідна за часом від кута φ, а момент інерції обчислимо за наближеною формулою:

, (24.24)

або (24.25)

Наближення в формулі (24.24) буде досить точним, якщо π – α_о < π/6. Кінетична енергія тепер:

(26)

Із (24.22) та (24.26), нехтуючи втратами енергії внаслідок затухання, маємо:

(24.27)

Після спрощення:

(24.28)

Беремо похідну за часом:

, (24.29)

або = 0 (24.30)

Звідки період коливань:

(24.31)

Для розрахунку періоду за цією формулою досить виміряти радіус циліндра, а також кут α_о, або π – α_о.