Метод Ньютона (касательных)

Прежде, чем использовать метод Ньютона, необходимо найти промежутки локализации корней, то есть такие промежутки, где есть только один корень.

Обозначим найденный промежуток локализации [a;b], на этом промежутке должны выполняться два условия:

- Функция y(x) непрерывна на [a;b]

- y(a)*y(b)<0, т.е. функция имеет разные знаки на концах промежутка.

Метод Ньютона является итерационным методом. В любом итерационном методе выбирается начальное приближение к корню , затем определяется x₁®x₂®…®x_i®x_i+1, причем .

Процедура прекращается при условии x_i+1 – x_i │≤ ε, где ε - точность вычисления корня, некое малое число. В наших лабораторных работах выберем e=0,0005.

Начальное значение определяется по правилу:

Пусть, например, =b

Рис. 10

На рис.10 показан график функции y(x) на промежутке локализации [a;b]. Нас интересует точка пересечения графика функции с осью OX.

Шаг 1. Для нахождения точки x₁проведем касательную к y(x) в точке (,y()). x₁ – точка пересечения касательной с осью OX.

Рассмотрим прямоугольный треугольник MNK.

Сторона , , сторона

Тогда

Шаг 2. Необходимо сравнить и x₁. Если , то будем считать, что корень найден и равен x₁, если , то необходимо провести касательную к y(x) в точке (x₁,y(x₁)) и вычислить .

. Шаг i. Вычислять x_i+1по формуле:

До тех пор, пока станет меньше e.