Модели предпочтений

В теории принятия решений употребляются разные модели формализации предпочтений ЛПР.

Одним из наиболее часто применяемых инструментариев, который позволяет содержательно выразить представления ЛПР о сравнительной ценности вариантов на формальном языке, является так называемая реляционная модель предпочтений, основанная на бинарных отношениях.

Пример 2.2. Бинарные отношения: 1) «Илья старше Татьяны», 2) «Москва находится южнее Санкт-Петербурга, а Санкт-Петербург — южнее Архангельска», 3) «Железо тверже и тяжелее воска», 4) «Иван и Петр — братья», 5) «Слова день и ночьсостоят из одинакового числа букв». ■

Первое, второе и третье высказывания указывают на определенную неравнозначность сравниваемых объектов, на различие их свойств. Четвертое и пятое высказывания, наоборот, свидетельствуют о некоторой похожести объектов, одинаковости их характеристик.

Во всех высказываниях присутствуют названия сравниваемых объектов (Илья, Татьяна, Москва, железо, воск,...) и названия бинарных отношений между объектами (быть старше, находиться южнее, быть братом,...). Отметим, что во втором высказывании приведено одно и то же отношение между несколькими объектами (Москва, Санкт-Петербург, Архангельск), а в третьем — упомянуто несколько разных отношений (тверже и тяжелее) между двумя объектами. Кроме того, отношение может выполняться для всех объектов: «Все братья являются детьми мужского пола своих родителей», или только для некоторых: «Некоторые слова имеют одинаковую длину».

Обратим внимание на одно важное обстоятельство. Если изменить названия объектов или виды отношений, поменять объекты местами, то могут возникнуть следующие ситуации:

• высказывание останется верным, т. е. отношение сохранится, например, «Москва старше Санкт-Петербурга», «Петр и Иван — братья», «Слова Иван и Петр состоят из одинакового числа букв», «Татьяна находится южнее Ильи»;-

• высказывание станет неверным, т. е. отношение нарушится, например, «Татьяна старше Ильи», «Архангельск находится южнее Москвы и Санкт-Петербурга», «Слова железо и воск состоят из одинакового числа букв»;

• высказывание потеряет смысл, т. е. отношение будет невозможным, например, «Илья и Татьяна — братья», «День находится южнее ночи», «Москва тверже и тяжелее Санкт-Петербурга».

Предпочтения ЛПР, описываемые с помощью бинарных отношений, можно в широком смысле разделить на три группы: нейтральные, слабые и сильные. Нейтральная, или неопределенная, предпочтительность вариантов, которую будем обозначать как A_i» A_j,характеризуется симметричным отношением (сходство, эквивалентность; несходство, противоположность) и свидетельствует либо о некоторой равноценности, либо о неопределенной ценности обоих вариантов для ЛПР, например: «Варианты A_i и A_j эквивалентны», «Варианты A_i и A_j несопоставимы».

Слабая, или нестрогая, предпочтительность вариантов, которую будем обозначать как A_i ≽ A_j,задается либо антисимметричным, либо рефлексивным и полным отношением (нестрогое превосходство, нестрогий порядок, предпорядок) и отражает как различимость, так и одинаковость вариантов для ЛПР: «Вариант A_i не хуже, чем вариант A_j»,«Вариант A_i,по крайней мере, такой же, как и вариант A_j». Первая формулировка допускает, чтобы вариант A_i был как лучше, так и равноценен варианту A_j. Вторая формулировка разрешает, чтобы оба варианта A_i и A_j были одинаково либо приемлемыми («хорошими»), либо неприемлемыми («плохими») для ЛПР.

Сильная, или строгая, предпочтительность вариантов, которую будем обозначать как A_i ≻ A_j, выражается асимметричным отношением (строгое превосходство, строгий порядок) и интерпретируется как явно выраженное различие вариантов: «Вариант A_i лучше варианта A_j».

Таким образом, в рамках реляционной модели предпочтений при необходимости выбора из пары вариантов (A_i, A_j)в случае нейтральной предпочтительности (A_i» A_j)выбираются оба варианта: и A_i,и A_j;вслучае нестрогой предпочтительности (A_i ≽ A_j)либо выбирается вариант A_i, либо выбираются или не выбираются оба варианта вместе; в случае строгой предпочти­тельности (A_i ≻ A_j)выбирается только первый вариант A_i и не выбирается второй вариант A_j. Бинарные отношения позволяют ЛПР достаточно просто и наглядно оценить сравнительные достоинства рассматриваемых вариантов и выразить их на языке, близком к естественному. При этом ЛПР может устанавливать предпочтительность вариантов как в целом, так и по отдельным их характеристикам, например, сравнивая железо и воск по твердости и тяжести.

Рефлексивные отношения свидетельствуют о каком-то сходстве сравниваемых вариантов для ЛПР. Антирефлексивные отношения указывают на определенное различие между вариантами. Однако эти средства сравнения вариантов не достаточно выразительны для характеристики предпочтений ЛПР.

Для большей определенности выбора обычно используют отношения, обладающие свойствами симметричности и транзитивности. Транзитивные и симметричные Отношения разбивают множество вариантов на неупорядоченные классы, транзитивные и рефлексивные отношения — на упорядоченные классы. Варианты, принадлежащие к одному и тому же классу, счита­ются эквивалентными, или идентичными. Транзитивные и асимметричные отношения обеспечивают упорядочение сравниваемых вариантов.

И наконец, могут иметься варианты, не сравнимые ни по одному из отношений. Последнее может быть обусловлено как формальной несравнимостью вариантов, так и невозможностью их сравнения, например вследствие недостатка имеющейся у ЛПР информации.

Другой достаточно популярной моделью представления пред­почтений ЛПР является так называемая функциональная модель, в рамках которой предпочтительность варианта для ЛПР выражается значением некоторой числовой функции, зависящей от характеристик рассматриваемого варианта. Такие функции носят разные названия: целевые функции, показатели эффек­тивности, функции ценности и полезности и т. п. Различные виды функциональных моделей, а также иные возможные модели представления предпочтений ЛПР будут подробно обсуждаться в дальнейшем при изучении задач оптимального и рационального выбора.

Все многообразие способов выявления предпочтений ЛПР можно свести к трем основным процедурам: оценке, сравнению и выбору. Отметим, что сами эти процедуры могут быть как объективного, так и субъективного характера.