Определение и свойства определенного интеграла

Пусть на сегменте [a,b] задана функция f(x). Выполним следующие операции:

1. С помощью точек деления разобьем [a,b] на n малых сегментов: .

2. На каждом малом сегменте выберем произвольную точку , , составим произведение .

3. Составим, так называемую, интегральную сумму всех таких произведений

.

Определенный интеграл есть число, равное пределу, к которому стремится интегральная сумма , когда стремится к нулю.

Таким образом,

Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами (границами) интегрирования, f(x) - подынтегральной функцией, а интервал [a,b] - областью интегрирования.

Функция f(x), для которой существует конечный , называется интегрируемой на промежутке [a,b], причем указанный предел не зависит ни от способа разбиения сегмента [a,b] на части, ни от выбора точек в каждой из них.

В теореме существования определенного интеграла указывается на то, что всякая непрерывная на промежутке [a,b] функция f(x) является интегрируемой на нем.

Впредь подынтегральную функцию будем считать непрерывной.

Без подробных объяснений приведем некоторые свойства определенных интегралов.

1. .

2.

3. .

4. Если на [a,b], то .

5. Если для , то

а)

б)

6. Теорема о среднем: ,

где - непрерывна на [a,b].

7. .

8.