Формула интегрирования по частям

,
где - непрерывно дифференцируемые функции.

Применение данной формулы целесообразно в тех случаях, когда под знаком интеграла стоит произведение разных по смыслу функций - степенной и показательной, степенной и тригонометрической, показательной и тригонометрической, логарифмической и степенной и т.п.

При этом за u(x) обозначают такую функцию, которая при дифференцировании упрощается, а за dv - ту часть подынтегрального выражения, интеграл от которой может быть найден.

К таким интегралам, например, относятся

и т.д.,

где - многочлен степени n.

Пример 6. Найти интеграл .

Решение. Пусть , тогда ; тогда .

По формуле интегрирования по частям находим

Пример 7. Найти интеграл .

Решение. Используя тот же прием интегрирования, что и в примере 6, получим

При отыскании некоторых интегралов формулу интегрирования по частям нужно применить несколько раз, прежде чем сведем его к табличному или получим исходный интеграл.

Пример 8. Найти интеграл .

Решение. Используем дважды формулу интегрирования по частям.

Таким образом, приходим к уравнению с неизвестным интегралом J:

или

,