Кодирование числовой информации

Для представления чисел используются системы счисления. Система счисления — это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.

Все системы счисления делятся на две группы: позиционные и непозиционные системы счисления.

Внепозиционных системах вес цифры (т.е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позициив записи числа. Пример: в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен десяти.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется взависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Пример: в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы.

Основание системы счисления – это количество цифр позиционной системы счисления. Позиционные системы отличаются друг от друга своим количеством цифр, и поэтому именуются по своему основанию. Например, десятичная система счисления, двоичная система.

В десятичной системе счисления любое число может быть представлено через степени числа 10 (основание системы). Например,

725 = 7 ^. 10² + 2 ^. 10¹ + 5 ^. 10⁰

Любое число в позиционной системе счисления можно записать в следующем виде:

X = a_n • p^n-1 + a_n-1 • p^n-2 + … + a₂ • p¹ + a₁ • p⁰ + a_-1• p^-1 + … + a_-m• p^-m,

где p – основание системы счисления;

n и m – число целых и дробных разрядов, соответственно.

В ЭВМ наибольшее распространение нашла двоичная система счисления. Компьютеры используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами:

• для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми;

• представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;

• возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;

• двоичная арифметика намного проще десятичной.

Кроме двоичной системы счисления часто используются восьмеричная и шестнадцатеричная системы.

X10	X2	X8	X16
			A
			B
			C
			D
			E
			F

Пример 1. Представить десятичное число 4718,63 в развернутой форме записи:

А₁₀=4·10³+7·10²+1·10¹+8·10⁰+6·10^-1+3·10^-2.

Пример 2. Представить двоичное число 1001,1 в развернутом виде:

А₂=1·2³+0·2²+0·2¹+1·2⁰+1·2^-1 = 8+1+0,5 = 9,5₁₀.

Пример 3. Представить восьмеричное число 7764,1 в развернутом виде:

А₈=7·8³+7·8²+6·8¹+4·8⁰+1·8^-1 = 3584 + 448 + 48 + 4 + 0,125 = 4084,125₁₀

Пример 4. Представить шестнадцатеричное число 3АF₁₆ в развернутом виде:

3АF₁₆ = 3·16²+10·16¹+15·16⁰ = 768+160+15 = 943₁₀.

Преобразование чисел, представленных в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления, в десятичную выполнить довольно легко. Для этого необходимо записать число в развернутой форме и вычислить его значение.

Перевод чисел из двоичной системы в десятичную. Возьмем любое двоичное число, например 10,11₂. Запишем его в развернутой форме и произведем вычисления:

10,11₂=1*2¹+0*2⁰+1*2^-1+1*2^-2=1*2+0*1+1*1/2+1*1/4=2,75₁₀.

Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в десятичную. Возьмем любое восьмеричное число, например 67,5₈. Запишем его в развернутой форме и произведем вычисления:

67,5=6*8¹+7*8⁰+5*8^-1=6*8+7*1+5*1/8=55,625₁₀.

Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную. Возьмем любое шестнадцатеричное число, например 19F₁₆. Запишем его в развернутой форме (при этом необходимо помнить, что шестнадцатеричная цифра F соответствует десятичному числу 15) и произведением вычисления:

19F₁₆=1*16²+9*16¹+F*16⁰=1*256+9*16+15*1=415₁₀.

Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую