Лабораторная работа №4. «Гравитационная модель Рейли»

«Гравитационная модель Рейли»

Житель поселка «Кулички» решил переехать жить в город на постоянное место жительства. Его выбор остановился на двух городах и . Расстояние до города составило , а до города расстояние переезда . Привлекательность городов с точки зрения жизни, согласно последним исследованием, была и соответственно. Расстояние между самими городами составило .

Необходимо найти:

1. Город, который выберет житель поселка «Кулички» для проживания согласно гравитационной модели Рейли.

2. Уравнение кривой, на которой будет безразлично какой город для проживания выбрать или в модели Рейли, а значит, города будут одинаково привлекательны с точки зрения переезда.

Исходные данные. (N – номер ряда=1, L – номер парты=2)

Вариант	RA, km	RB, km	R, km	KA	KB
				N+10+L	40-N+L
				N+10+L	40-N+L
				N+10+L	40-N+L
				N+10+L	40-N+L
				N+10+L=13	40-N+L=41
				N+10+L	40-N+L
				N+10+L	40-N+L
				N+10+L	40-N+L
				N+10+L	40-N+L
				N+10+L	40-N+L
				N+10+L	40-N+L
				N+10+L	40-N+L
				N+10+L	40-N+L
				N+10+L	40-N+L
				N+10+L	40-N+L

Согласно гипотезе Рейли, притягательность города А для человека в любой точке про­порциональна величине города – прежде всего численности насе­ления города — и обратно пропорциональна квадрату расстояния меж­ду городом и этой точкой. Видно, что точки одинакового притяжения к городу образуют концентрические окружности с центром в этом городе. Рассмотрим теперь города А и В величиной соответственно и . Введем на плоскости прямоугольную систему координат, в которой А занимает точку , а В – точку . Тогда притягательность го­рода А в произвольной точке равна , а притяга­тельность города В в этой же точке равна .

1. ,

Из полученных данных мы можем сделать вывод, что Город, который выберет житель поселка «Кулички» для проживания согласно гравитационной модели Рейли будет город В.

Найдем множество Е точек, в которых притяжение городов одина­ково. Притяжение городов в точке М(х, у) одинаково, если и только если S_A(M) = S_B(M), т.е. . Легко видеть, что если , то линия равной притягательности есть вертикальная ось У. Предпо­ложим, что Р_А > Р_В, и обозначим Р_А/Р_В через к, тогда к > 1.

Продолжим нахождение линии равной притягательности. Имеем = , и дальнейшие несложные преобразования приводят к уравнению , где ,

Итак, ли­ния равной притягательности есть окружность с центром в точке С(с, 0). Так как к > 1, то с > а, т.е. точка С расположена правее точки В. Внутри круга сильнее притягательность города В, а вне города А.

Вывод: в данной лабораторной работе мы изучили гравитационную модель Рейли.