Краткая теория. Пусть функция интегрируема на произвольном отрезке

Пусть функция интегрируема на произвольном отрезке .

Несобственным интегралом (первого рода) называется предел функции при , т.е.

(11.22)

Если предел, стоящий в правой части равенства (11.22), существует и кончен то

соответствующий несобственный интеграл называется сходящимся; в противном случае — расходящимся.

Аналогично, по определению,

, (11.23)

, (11.24)

где а — некоторое число. При этом несобственный интеграл, стоящий

в левой части равенства (11.24), называется сходящимся, если сходятся оба несобственных интеграла из правой части этого равенства; в противном случае — расходящимся.

11.73. Вычислить интегралы:

а) ; б) ; в) ;

если они сходятся.

Решение. По определению (11.22), получаем

б) по определению,

т.е. данный интеграл расходится.

в) Полагая в определении (11.24), что а = 0, учитывая четность подынтегральной функции, имеем