Лекции 14 -15

Рассмотрим проективную плоскость с фиксированной прямой и множество . Запишем аналитическое выражение для преобразования f. Это преобразование определяется по формулам:

(1)

Но для преобразования группы накладываются дополнительные условия, с учетом их, получаем:

(2)

и

(3)

Введя новые параметры , получим:

(4)

такой же вид имеют формулы преобразования подобия, поэтому группа подобий евклидовой плоскости изоморфна группе . Значит Евклидову геометрию на плоскости можно рассматривать как геометрию, изучающую те свойства плоскости которые инвариантны относительно группы

Из формул (4) можно вывести формулы преобразования называемого паралельным переносом и убедиться, что они в точности совпадают с формулами паралельного переноса на евклидовой плоскости.

Определение:

2 прямые а и b плоскости называется перпендикулярными, если соответствующие им несобственные точки в инволюции

Определение:

Овальная линия второго порядка, проходящая через циклические точки называется окружностью.

Определение:

2 угла плоскости равны, если существует преобразование , которое один угол преводит в другой.

Два отрезка плоскости равны, если существует такие равных окружности, для которых эти отрезки являются радиусами.

Запишем аналитические выражения для преобразований, сохраняющих равенство отрезков. Множество этих преобразований обозначим через . Пусть . В декартовом репере это преобразование задается формулами (4). Так как это преобразование сохраняет равенство отрезков, то оно окружность переводит в окружность , поэтому данное преобразование переводит точку О(0,0) в точку (a,b). После несложных упрощений получаем:

Такой же вид имеют формулы преобразования движений евклидовой плоскости.

Основная литература

12. Ефимов Н.В. Высшая геометрия –М.:Наука,2004

13. Вольберг О.А. Основные идеи проективной геометрии, М.:Наука. 2010

14. Певзнер С.Л. Проективная геометрия – М.: Просвещение, 2010

15. Игнациус Г.И. Проективная геометрия М.: МЦНМО, 2008

16. Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии М.:Мир, 2010

17. Holme A. Geometry, Springer 2010

18. Audin M, Geometry, Springer 2009

19. Клейн Ф. Высшая геометрия М.: Едиториал УРСЕ 2004

20. Кутюзин В.Ф., Зенкевич Н.А., Еремеев В.В. Геометрия учебник для вузов, Лань, 2008

21. Базылев В.Т. и другие. Сборник задач по геометрии.- М.: Просвещение, 2009

22. Атанасян Л.С. и др. Сборник задач по геометрии.- М.: Просвещение, 1974

11. Певзнер С.Л. и другие. Задачник-практикум по проективной геометрии- М.: Просвещение, 1980.

Дополнительная литература

1.. Гуревич Г.Б. Проективная геометрия М. Физматгиз, 1960

2. Глаголев Н.А. Проективная геометрия М. 1963

3. Четверухин Н.Ф. Проективная геометрия М.: Учпедгиз 1950

4. Александров А.Д., Нецветов С.П. Геометрия -М.:Наука, 1990.

5. Дубровин Б.А., Новиков С.Л., Фоменко Л Современная геометрия -М.: Наука 1990.

6. Ефимов Н.В. Высшая геометрия –М.Наука,1978

7. Певзнер С.Л. Проективная геометрия- М.: Просвещение, 1987

11. Глаголев Н.А. Проективная геометрия - М. 1963

12. Базылев В.Т., Дуничев К.И. Геометрия, 1 часть – М.: Просвещение, 1975

13. Атанасян Л.С., Базылев В.Т.Геометрия, 2 часть – М.: Просвещение, 1987