Экономико-математический анализ двойственных оценок. Двойственные оценки соответствуют ресурсам:

Двойственные оценки соответствуют ресурсам:

y ₁^* = 9 – двигателям,

y ₂^* = 0 – фарам,

y ₃^* = 3 – глушителям.

В пределах устойчивости двойственных оценок имеют место следующие свойства:

1. Смысл значений двойственных оценок.

Увеличение количества двигателей на единицу позволит построить такой план выпуска продукции, при котором суммарная стоимость продукции увеличится на 9 денежных единиц, увеличение количества глушителей на единицу увеличит прибыль на 3 денежные единицы, а увеличение фар на единицу никак не повлияет на суммарную стоимость продукции.

2. Оценка дефицитности ресурсов.

Наиболее дефицитными будут двигатели (как имеющие наибольшую оценку), менее дефицитны глушители, а фары будут в избытке, так как y ₂^* = 0. Избыточность ресурса можно определить, подставив значения x ₁ ^* и x ₂ ^* в условия прямой задачи: второе условие выполняется как строгое неравенство: 8 < 10, следовательно, в избытке 2 фары.

3. Заменяемость ресурсов. Определяется для ненулевых двойственных оценок.

В нашей задаче относительная заменяемость определяется соотношением:

9: 3 = 3: 1.

Если увеличить количество двигателей на единицу, то суммарная стоимость увеличится на 9 денежных единиц:

Δ L_max = 9 · 1 = 9

Если количество глушителей увеличить на 3 единицы, то суммарная стоимость также увеличиться на 9 денежных единиц:

Δ L_max = 3 · 3 = 9.

Таким образом, чтобы получить одинаковое увеличение значения критерия на 9 денежных единиц, нужно увеличить количество двигателей на одну единицу или количество глушителей на 3 единицы.

4. Оценка эффективности ввода в план новых изделий. Для этого вычисляется значение Δ _j по формуле:

Δ _j = å a_ijy_i^* - C_j,

где a_ij –количество ресурса каждого вида на единицу нового изделия;

y_i^* – двойственная оценка ресурса;

C_j – цена нового изделия.

Если Δ _j > 0, то новое изделие вводить невыгодно.

Если Δ _j < 0, то выгодно.

Если Δ _j = 0, то целесообразно.

Предприятие планирует выпуск тракторов. Расход ресурсов на один трактор: 1 двигатель, 2 фары и 0 глушителей. Предлагаемая цена за один трактор 8 и 10 денежных единиц.

Оценим выгодность выпуска трактора по цене 8 денежных единиц:

Δ _j = 1 · 9 + 2 · 0 + 0 · 3 – 8 = 1 > 0,

следовательно, трактор по цене 8 денежных единиц выпускать не выгодно.

Оценим выгодность выпуска трактора по цене 10 денежных единиц:

Δ _j = 1 · 9 + 2 · 0 + 0 · 3 – 10 = -1 < 0,

следовательно, трактор по цене 10 денежных единиц выпускать выгодно.

5. Сопоставление оценки затрат и прибыли.

Подставим значения двойственных оценок в условия двойственной задачи.

Первое условие (по машинам):

y ₁ + 2 y ₂ + y ₃ ³ 12

9 + 2 · 0 + 3 ³ 12

12 = 12

Второе условие (по мотоциклам):

y ₁ + y ₂ + 2 y ₃ ³ 15

9 + 0 + 2 · 3 ³ 15

15 = 15

Оба изделия выпускать экономически целесообразно, что и подтверждается оптимальным решением прямой задачи.