Нечеткие отношения. Проекции

Для практических задач большое значение имеет понятия нечеткого F -отношения.

Пусть X₁, X₂,..., X_n - некоторые множества. Тогда нечеткое n-арное отношение Q определяется как нечеткое подмножество их декартового произведения X= X₁*X₂ *...* X_n, т.е.

Например, функция

определяет бинарное F -отношение Q в R ², т.е. .

Декартовым произведением F -множеств , называется F -множество A= A ₁*A ₂ *...* A_n из F(X) = F(X₁ * X₂ *...* X_n) c функцией принадлежности вида

. (1.8)

Распространенными примерами (бинарных) нечетких отношений являются много больше чем, имеет сходство, имеет отношение и т.д. Например, функция принадлежности отношения близко к можно определить следующим образом:

Пример 1.4. Предположим для примера, что Х={брат, сестра}, Y={отец, мать}, тогда бинарное нечеткое отношение сходства можно записать в виде:

сходство = 0,8/(б, о) + 0,6/(б, м) + 0,4/(с, о) + 0,9/(с, м).

Данное отношение можно представить также и в виде матрицы отношения:

	отец	мать
брат	0,8	0,6
сестра	0,4	0,9

в которой (i,j) -й элемент равен значению функции для i -го значения х и j -го значения у.

Если множества значений переменных конечны, то матрица композиции (произведения) отношений R°S равна максиминному произведению матриц отношений R и S. В максиминном произведении матриц вместо операции сложения и умножения используются операции U и U соответственно. Например,

0,3	0,8		0,5	0,9		0,4	0,8
0,6	0,9	°	0,4		=	0,5	0,9

Например, предположим, что А и F имеют вид:

А = 0,2/1 + 1/2 +0,3/3

F = 0,8(1,1) + 0,9(1,2) + 0,2(1,3) + 0,6(2,1) + 1(2,2) + 0,4(2,3)+ 0,5(3,1) + 0,8(3,2) + 1(3,3).

Выражая А и F с помощью матриц и образуя матричное произведение, получаем

				0,8	0,9	0,2
0,2		0,3	°	0,6		0,4	=	0,6		0,4
				0,5	0,8

Важную роль в ТНМ играет понятие проекции F -отношения. Дадим определение проекции бинарного F -отношения.

Пусть - функция принадлежности F -отношения в X * Y. Проекции Q_X и Q_Y отношения Q на X и Y - есть множества в X и Y с функцией принадлежности вида:

, (1.9)

. (1.10)

Пример 1.5. Пусть X=Y=R - числовая прямая и в R²= X* Y задано F -отношение:

.

Найдем проекции Q_X и Q_y. Так как - дифференцируема по x и по y во всей плоскости, то для любого фиксированного x из уравнения находим, что доставляет максимум функции и, следовательно, .

Из соображения симметрии .

Пример 1.6. Пусть на R² задана функция:

.

Определим F -отношение Q в R² следующим образом:

Из уравнения имеем и, следовательно, ,

Из соображения симметрии .

Условной проекцией F -отношения Q на X при произвольном фиксированном называется множество с функцией принадлежности вида . (1.11)

Аналогично определяется условная проекция на Y при заданном :

. (1.12)

Из данного определения видно, что проекции Q _X и Q_y не влияют на условные проекции P _X и P_y. соответственно. Дадим далее определение, которое учитывает их взаимосвязь.

Условные проекции второго типа определяются следующим образом:

(1.13)

(1.14)

Если или , то полагаем, соответственно, что или .

Замечание. Поскольку для всех х и y выполняется

, , то в выражениях (1.13) и (1.14) , .

Кроме того, условные проекции первого типа содержатся в соответствующих проекциях второго типа.