Додаток Б - Приклади розв’язання задач

Припустимо, що в контрольованій партії, яка складається з 20000 ІС, є 236 дефектних виробів. Якщо з цієї партії взяти вибірку обсягом 300 ІС, то чому буде дорівнювати імовірність q _nd знайти в ній 2 дефектних вироби? Визначити також математичне очікування (найбільш імовірне значення кількості дефектних ІС), дисперсію і середньоквадратичне відхилення для вказаної вибірки.

Дано:

N=20 000 IC D=236 IC n=300 IC d=2 дефектні ІС

qnd=? M[d]=? s2[d]=? s[d]=?

Закон Пуассона. Оскільки у нас обсяг вибірки малий (n/N=0,015<0,1) і ймовірність безвідмовної роботи висока (P=1-Q=
=1-D/N=1-236/20000=1-0,0118=0,9882>0,9), то закон Пуассона може бути використаний.

Отже, , де .

Тоді .

Математичне очікування M[d]= а =3,54 ІС» 4 ІС.

Дисперсія s ²[ d ]= а =3,54.

Середньоквадратичне відхилення

s [ d ]=+ » 2 ІС.

Біноміальний закон. Оскільки у нас n/N =300/20000=0,015<0,1, то для розв’язання задачі може бути використаний також біноміальний закон, за яким

, де ; Q=D/N; 1-Q=P.

Тоді . Математичне очікування дорівнює:

» 4 ІС.

Дисперсія дорівнює:

.

Середньоквадратичне відхилення дорівнює

.

Гіпергеометричний закон. В найбільш загальному вигляді ймовірність знайти d дефектних ІС у партії з n штук дає можливість використати гіпергеометричний закон. При цьому

Математичне очікування дорівнює

» 4 ІС.

Дисперсія дорівнює

.

Середньоквадратичне відхилення дорівнює

.

Висновки: 1) імовірність q _nd серед вибірки із n =300 ІС знайти d =2 дефектні ІС дорівнює приблизно 18%; 2) математичне очікування (найбільш імовірна кількість дефектних ІС) M [ d ]»4;
3) середньоквадратичне відхилення s [ d ]»2 ІС.