Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Прежде всего, для дальнейшего понадобятся краткие сведения, касающиеся вариационного исчисления.
Вариацией функции переменной называется функция от , определяемая при каждом значении как разность новой функции и функции .
Таким образом, в отличие от дифференциала, который является главной частью приращения функции и зависит от вида заданной функции и изменения аргумента , вариация позволяет рассматривать отклонения различных функций от некоторой заданной функции. Отметим, что формально правила варьирования совпадают с правилами дифференцирования.
Функционалом , заданном на некотором множестве , называется отображение это множества в множество действительных чисел.
Множеством, на котором задан функционал может являться линейное нормированное пространство. Обозначим это пространство , а его элементы и напомним основные определения.
Линейным пространством называется множество , в котором определены операции сложения и умножения на действительные числа, удовлетворяющие следующим условиям для любых его элементов:
1) ;
2) ;
3) существует такой элемент , что ;
4) для любого найдется такой элемент , что ;
5) для любых действительных чисел и ;
6) ;
7) для любых действительных чисел и ;
8) для любого действительного числа .
Примерами линейных пространств являются векторное пространство , – пространство функций, непрерывных на отрезке , пространство – пространство функций, непрерывных на отрезке вместе со своей первой производной.
Линейное пространство называется нормированным, если каждому его элементу поставлено в соответствие действительное число , называемое нормой элемента , причем выполняются следующие условия:
1) и тогда и только тогда, когда ;
2) для любого действительного и любого ;
3) для любых .
Указанные выше линейные пространства являются также и нормированными линейными пространствами. При этом, например, в пространстве функций, непрерывных на отрезке вместе со своей производной, можно рассматривать норму
.
Таким образом, функционал может быть задан на пространстве функций.
Функционал I достигает абсолютного минимума (максимума) на элементе , если для любого элемента выполняется неравенство
.
Множество называется открытым шаром радиуса с центром в точке .
Функционал I имеет относительный минимум (максимум) на элементе , если существует такой шар , что для всех выполняется неравенство
.
Пусть I – функционал, определенный на линейном нормированном пространстве. Рассмотрим функцию переменной . Если в некоторой точке при для любого элемента , то производная
. (6.47)
называется вариацией функционала I в точке и обозначается .
Необходимым условием существования экстремума функционала является равенство нулю вариации
для любого . (6.48)
Приведем еще необходимую для дальнейшего изложения основную лемму вариационного исчисления. Если функция непрерывна на отрезке и для любой непрерывной на функции выполняется
,
то тождественно равна нулю.
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Рассмотрим следующую простейшую задачу вариационного исчисления:
(6.49)
Найдем вариацию данного функционала. В соответствии с определением (6.47) вариация равна
.
Применим правило дифференцирования сложной функции и получим
(6.50)
Воспользуемся формулой интегрирования по частям:
.
Обозначим: , .
Тогда для второго из интегралов (6.50.) получим
(6.51)
Поскольку значения в точках и заданы, то функция на концах отрезка должна удовлетворять условиям . Подставим (6.51) (с учетом последнего замечания) в (6.50) и получим выражение для вариации функционала:
. (6.52)
Обратимся далее к необходимому условия существования экстремума функционала (6.48):
. (6.53)
Опираясь на основную лемму вариационного исчисления, получим из (6.53) уравнение Эйлера–Лагранжа:
. (6.54)
Уравнение (6.54) представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение. Его решение, то есть функция , и является экстремалью задачи (6.49.).
В качестве примера решим с помощью уравнения Эйлера–Лагранжа решим задачу (6.46.), сформулированную в начале пункта 6.5. Для этой задачи:
, , , .
Подставим производные в уравнение (6.54):
.
Приведем последнее уравнение к общему знаменателю и получим
. (6.55)
Произведем замену: , .
Теперь (6.55) преобразуется к дифференциальному уравнению первого порядка:
.
Разделим переменные
. (6.56)
Интегрирование (6.56) приводит к выражению
, (6.57)
где – постоянная интегрирования. Поскольку , то из (6.57) получим уравнение:
. (6.58)
Уравнение (6.58) приводит к интегралу
. (6.59)
Сделаем подстановку (где – гиперболический косинус, ). Учтем тождество (где – гиперболический синус, ), а также то что .
Тогда получим
. (6.60)
Теперь можно выразить через и получить уравнение кривой
. (6.61)
Постоянные и определяются с помощью условий на концах отрезка . Так, в случае , , постоянная , и искомая кривая задается функцией (рис. 6.8). Проблема определения минимальной поверхности нередко возникает при решении физических и технических задач.
Рис. 6.8. Пример поверхности, образованной вращением кривой вокруг оси , .
Данный раздел представляет собой введение в методы математической оптимизации. Каждый из пунктов данного раздела может быть значительно расширен с учетом имеющейся в настоящее время учебной и научной литературы. Кроме того, имеется ряд направлений методов оптимизаций, не затрагивающихся при изложении настоящего раздела, например, теория оптимального управления; математические методы, позволяющие описать самоорганизацию в технических системах и др. Авторы пособия, однако, надеются, что изложенный материал познакомит читателя с основами методов математической оптимизации и позволит ему в дальнейшем использовать полученные знания как для решения конкретных задач, так и в качестве фундамента для постижения более сложных проблем оптимизации, возникающих при решении инженерных задач.
Дата публикования: 2015-04-07; Прочитано: 241 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!