УПРАЖНЕНИЯ. 1. Функция f(x)= x21 + x22 – x1x2 + 2x1 – 4x2 минимизируется градиентным методом с постоянным шагом ( ak = a )

1. Функция f (x)= x²₁ + x²₂ – x₁x₂ + 2x₁ – 4x₂ минимизируется градиентным методом с постоянным шагом (a _k = a). При каких значениях сходимость гарантирована? Найти a^*, выполнить три итерации метода при х⁰ = (1, 1).

2. Для функции из упражнения 1 выполнить три итерации поиска мини­мума по методу наискорейшего спуска при х⁰ = (1,1).

3. Вычислить антиградиент функции f (х) = 100(x₂ - x₁)² + (1- x₁)² в точках (-1,2; 1), (0, 0), (2, 1) и сравнить полученные направления с направлением в точку минимума х^*= (1,1), изобразив соответствующие векторы па плоскости.

4. Показать, что в методе наискорейшего спуска направления х ^{k +1} – х ^k и x ^k – x ^{k -1} ортогональны.

5. Убедиться в том, что при обновлении метода сопряженных градиентов на каждой итерации он переходит в метод наискорейшего спуска.

6. Выполнить три итерации в соответствии с методом наискорейшего спуска методом сопряженных градиентов, методом Ньютона и ДФП-методом для минимизации функции f (х) = (x₁+ 10x₂)² + 5(x₃ - x₄)² + (x₂ - 2x₃)⁴ +10(x₁- x₄)⁴ при х⁰=(3, -1, 0,1).

7. Показать, что если матрица f ¢¢(х^k) положительно определена и f ¢(х^k) ¹ 0, то направление р ^k = - [ f ¢¢(x ^k)]^-1×f ¢(x ^k) является направлением убывания функции f (х) в точке х ^k.

8. Минимизировать методом сопряженных градиентов следующие функ­ции:

а) f (х) = 10x²₁+ 2x²₂ - 4x₁x₂ - 2x₁ - 2x₂ +1;

б) f (х) = x⁴₁+ x⁴₂ - 2x²₁x²₂ - 4x₁ + 3;

в) f (х) = (x²₁+ x₂ - 11)² +(x₁ + x²₂ -7)².