УПРАЖНЕНИЯ. 1. Убедиться в том, что последовательность { хk}, хk = является минимизирующей для функции f(х) = (x1 + x2)/(1 + x12+ x22)

1. Убедиться в том, что последовательность { х ^k }, х ^k = является минимизирующей для функции f (х) = (x ₁ + x ₂)/(1 + x ₁² + x ₂²).

2. Проверить, что последовательность { х ^k }: х ^{k +1} = х ^k - a _k f¢(х ^k) является минимизирующей для функции f (х) = x ₁² + x ₂² , если:

а) a _k = 1/10;

б) a _k = 1/(k +1).

Установить скорость сходимости этой последовательности.

3. Пусть множество U ^* точек минимума функции f (х) в E _n непусто и ограничено. Доказать, что для сходимости любой минимизирующей последовательности { х ^k } к U^* необходимо и достаточно, чтобы существовало число a > 0 такое, что множество U _a = { х | f (х) < f^* + a} ограничено (f^*= f (x)).

4. Выяснить, будет ли произвольная минимизирующая последователь­ность сходиться к множеству точек минимума функции f (х), если:

f (х) = xÎ E _n;

б) f (х) = ||х||, xÎ E _n;

в) f (х) = ||х||/(1+||х||)², xÎ E _n.

5. Для функции f (х) = 4 x ₁² + 4 x ₂² – 6 x ₁ x ₂ изобразить линию уровня f (х)=(x ₁, x ₂) = f (2,2) и векторы f'(2,2), f'(2,l), f'(1,-2), f'(-l, -1) с началом в точке (2, 2). Установить, какие из них задают направления убывания функции f (х) в точке (2, 2). Выполнить по каждому из этих направлений один шаг ис­черпывающего спуска.