Сплайн-интерполяция

При кубической сплайн - интерполяции соседние узловые точки соединяются полиномами третьей степени. Путем подбора коэффициентов соседние полиномы в узловых точках стыкуются так, что их первые две производные совпадают. В результате получается достаточно гладкая интерполяционная кривая. В граничных точках требуется задать дополнительные условия, определяющие локальное поведение кривой в этих точках.

Сплайн - интерполяцию удобно проводить в два этапа:

1 этап. Рассчитывается вектор Vs вторых производных интерполяционной кривой в узловых точках одним из трех возможных способов:

Vs:=cspline(Vx,Vy);

Vs:=pspline(Vx,Vy);

Vs:=lspline(Vx,Vy).

Здесь Vx и Vy - векторы, содержащие координаты x и y, через которые нужно провести сплайн. Как и в случае линейной интерполяции, вектор Vx должен быть упорядочен (по возрастанию значений). Функции cspline, pspline, lspline отличаются только граничными условиями: функция cspline соответствует кривой, которая в граничных точках (локально) ведет себя как полином 3-й степени, pspline - как парабола, а lspline - как прямая.

2 этап. Осуществляется сплайн - интерполяция при помощи функции

interp(Vs,Vx,Vy,x),

которая возвращает интерполируемое значение для заданного x. Здесь Vs - вектор, полученный на первом этапе.

Применение рассмотренных функций для сплайн-интерполяции данных, приведенных в таблице 7.1, также показано на рис.7.4.

Отметим, что для значений х, расположенных перед первой точкой в Vx, MathCAD использует продолжение первого кусочного полинома, соединяющего первую и вторую точки. Для значения х, расположенных за последней точкой в Vx, MathCAD продолжает сплайн последней кубической параболы. Таким образом осуществляется сплайн - экстраполяция данных.