Гистограмма и полигон

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x₁; n₁), (х_г\ n ₂),..., (x_k\ n_k). Для по­строения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты х_i, а на оси ординат—соответствующие им частоты п_i. Точки (x_i\ n_i) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.

Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (х₁; W₁), (x₂; W₂),..., (x_k; W_k). Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладывают варианты x_i, а на оси ординат—соответствующие им относительные ча­стоты W_i. Точки (х_i, W_i) соединяют отрезками прямых и получают полигон отно­сительных частот.

На рис. 1.3 изображен полигон относительных ча­стот следующего распре­деления:

Рис.1.3.

В случае непрерывного признака целесо­образно строить гистограмму, для чего интервал, в ко­тором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длиной h и находят для каждого

частичного интервала п_i — сумму частот вари­ант, попавших в 1-й интервал.

Гистограммой ча­стот называют ступен­чатую фигуру, состоя­щую из прямоугольни­ков, основаниями кото­рых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отноше­нию n_i/h (плотность ча­стоты). Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии n_i/h.

Площадь i-го частичного прямоугольника равна hn_i/h = n_i — сумме частот вариант i-гo интервала; следо­вательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т. е. объему выборки.

Рис.1.4.

На рис. 1.4 изображена гистограмма частот распреде­ления объема п = 100, приведенного в табл. 1.

Таблица 1

Частичный интервал длиною h=5	Сумма частот вариант частичного интер­вала ni.	Плотность частоты ni/h
5—10 10—15 15—20 20—25 25—30 30—35 35—40		0,8 1,2 3,2 7,2 4,8 2,0 0,8

Гистограммой относительных частот называют сту­пенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, осно­ваниями которых служат частичные интервалы длиною h,

а высоты равны отношению W_i /h (плотность относитель­ной частоты).

Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а надними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии W_i /h. Площадь i-го частичного прямоуголь­ника равна hW_i /h =W_i —относительной частоте вариант, попавших в i-й интервал. Следовательно, площадь гисто­граммы относительных частот равна сумме всех отно­сительных частот, т. е. единице.

Выполнение:

Пусть мы имеем выборку из нескольких чисел. Возникает простейшая задача: ввести данные, сгруппировать их (построить дискретные вариационные ряды частот, частостей накопленных частот и накопленных частостей). Затем необходимо вычислить выборочные числовые характеристики: среднее, моду, мидиану размах дисперсию, стандартное отклонение, асимметрию, эксцесс. Всё это достаточно легко сделать в пакете STATGRAPHICS for Windows.

После входа в STATGRAPHICS появится окно (Рис.1.3)

Рис. 1.3

Для ввода данных воспользуемся окном представленном на Рис. 1.3

Задача. Администрацию универсамаинтересует оптимальный уровень запасов продуктов в торговом зале, а так же среднемесячный объем покупок товаров, не являющихся предметом ежедневного потребления в семье (таких, например, как сода).

Для выяснения этого вопроса менеджер универсама в течении января регистрировал частоту покупок стограммовых пакетиков и собрал следующие данные (х_i ):

4 4 9 3 3 1 2 0 4 2 3 5 7 10 6 5 7 3 2 9 8 1 4 2 1 0 8 9

Введем данные в первый столбец окна. Столбец назовем “ DATA ” Для этого щелкните мышкой по нынешнему названию «Col_1», столбец выделится. Щелкните правой кнопкой по заголовку, появится контекстное меню. Выберите в нем Modify Column (изменение колонки), щелкните левой кнопкой, появится диалоговое окно, в котором в поле Name (имя) введите название. Название должно быть написано латинскими буквами. Обратите внимание, ниже строки имени можно ввести комментарий к имени, он может быть русским. В нижней части окна можно выбрать тип данных. Попробуйте ввести данные разных типов, посмотрите, что получается. Поскольку Вы в этом примере работаете с целыми числами, окончательно выберете Integer (целое). ( Рис. 1.4)

Рис. 1.4

После заполнения таблицы сохраним файл данных. Для этого в строке меню выберите File, затем в раскрывшемся меню выберите Save As -> Save Data File As… (сохранить файл данных как), а затем выберите папку, в которой хотите сохранить файл, нажмите на кнопку Сохранить.

Займемся описательным статистическим анализом введенных данных. В строке меню выбирите Analyze (анализ), в раскрывшемся меню выберите Variable Data (изменение данных), а затем One-Variable Analysis (анализ одного изменения). Раскроется диалоговое окно (Рис. 1.5), в левой части которого надо выбрать столбец с данными, которые мы хотим проанализировать, затем нажать на кнопку , название выбранного нами столбца перейдет в правую часть экрана. Нажмите на кнопку OK. Перед Вами раскроется окно, как показано на Рис. 1.6

Рис. 1.5

Рис. 1.6

Нажмите на кнопку Tables (таблицы) , раскроется диалоговое окно (Рис. 1.7)

Рис. 1.7

В нем выберем Analysis Summary (итоговый анализ), Summary Statistics (описание данных), Frequency Tabulation (Таблицы частот), и нажмите OK.

Окно перед Вами разделено на 3 части. Найдите окно Frequency Tabulation for data (частотная группировка), для того чтобы увеличить его, щелкните по нему дважды. Так можно увеличить любое окно, в том числе и графики. Посмотрите таблицу. Здесь используются английские термины: Frequency – частота. Relative Frequency – частость, Cumulative Frequency – накопленная частота, Cum. Rel. Frequency – накопленная частость.

Щелкните дважды по окну Summary Statistics (общая статистика). В раскрывшемся окне Summary Statistics щелкните правой кнопкой, в появившемся контекстном меню выберите Pane Options (настройки панели), щелкните левой кнопкой. Раскроется диалоговое окно Summary Statistics Options (Рис. 1.8),

Рис. 1.8

В этом окне выберите Average (среднее), Median (медиана), Mode (мода), Veriance (дисперсия), Std.Deviation (стандартное отклонение), Min (минимальное отклонение), Max (максимальное отклонение), Range (размах выборки), Skewness (асимметрия), Kurtosis (эксцесс), Sum (сумма), Coeff.of Var (коэффициент вариации). Нажмите OK. Щелкните теперь дважды по окну Summary Statistics for data, оно раскроется во весь экран, посмотрите полученные значения.

Увеличьте теперь первый элемент выборки в 4 раза. Посмотрите, как изменится среднее, мода и медиана.

Построим теперь полигон и гистограмму. Нажмите на кнопку Graphs (графики), появится диалоговое окно (Рис. 1.9),

Рис 1.9

в котором надо выбрать Frequency Histogram (частотная гистограмма). Нажмите затем кнопку ОК. В окне появится гистограмма (Рис. 1.10).

Рис. 1.10

С этой гистограммой можно производить некоторые преобразования. Например, изменить цвет ряда данных или фона. Для этого надо дважды щелкнуть по окну с гистограммой, чтобы развернуть окно. Затем щелкнуть по гистограмме, для того чтобы выделить рад данных. Затем щелкнуть по гистограмме правой кнопкой, в раскрывшемся контекстном меню выбрать Graphics Options (настройки графиков), раскроется диалоговое окно (Рис. 1.11),

Рис 1.11

в котором можно выбрать тип заполнения, а также цвет. Для того что­бы выбрать цвет, надо нажать на кнопку Fills (заливка), затем в раскрывшемся окне выбрать нужный цвет.

Превратим теперь гистограмму в полигон. Для этого щелкните по окну с гистограммой правой кнопкой, в раскрывшемся контекстном меню выберите Pane Options, раскроется диалоговое окно (Рис 1.12)

Рис. 1.12

В этом окне выберите Polygon, щелкните ОК. На экране появится поли­гон. У полигона Вы можете изменить толщину и цвет линии, для этого надо увеличить размер экрана, а затем щелкнуть правой кнопкой и вы­брать в контекстном меню Graphics Options, появится диалоговое окно (Рис. 1.13)

Рис. 1.13

В этом диалоговом окне нужно выбрать нужные параметры — тип ли­нии, ее цвет и толщину и нажать на кнопку ОК.

Кстати, в том же окне, где полигон и гистограмма, можно выбрать ку­мулятивную гистограмму, если выбрать Cumulative Histogram (гистограмма комулянты). Если же выбрать Relative (относительное), то на графике по оси Y будут относительные, час­тоты, т.е. частости. Попробуйте самостоятельно сделать это. Результаты покажите преподавателю.

Для того, что бы повторить весь проведенный анализ на новом массиве данных, не прилагая никаких новых усилий по заданию таб­личных и графических опций, нужно сохранить анализ в виде файла StatFolio. В строке меню выберите File, в раскрывшемся меню выберите Save StatFolio As, задайте имя, выберите папку, нажмите кнопку Сохранить.

В пакете Statgraphics имеется некоторое количество встроенных примеров. Далее будем работать с ними и для того чтобы случайно не испортить какой-нибудь из них, скопируйте эти примеры к себе в папку. Они находятся в папке Data. Сейчас откроите один из них. Для этого выберите в строке меню File, в раскрывшемся меню выберите Open Data File, в своей папке Data выберите Cardata.sf. В этом файле пред­ставлены характеристики автомашин различных марок. Проанализируй­те переменную horsepower — это мощность автомобиля в лошадиных силах. От Вас требуется:

1. просмотреть выборку на экране;

2. произвести интервальную группировку данных (построить интер­вальные вариационные ряды частот, частостей, накопленных частот и накопленных частостей);

3. построить гистограмму, полигон и кумуляту частостей;

4. вычислить выборочные числовые характеристики: среднее, моду, медиану, дисперсию, стандартное отклонение, асимметрию и эксцесс.

5. результаты показать преподавателю.

6. удалите результаты анализа и закройте файл данных. Для этого в строке меню выберите File, в раскрывшемся меню выберите Close Data File.