Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Лінійним неоднорідним диференціальним рівнянням другого порядку з постійними коефіцієнтами називається рівняння виду:
, (4.1.9)
де і – дійсні числа, і відповідне йому однорідне рівняння має вид
. (4.1.10)
Розв'язок рівняння (4.1.10) знаходять у виді (). Оскільки і , тоді після підстановки їх в (4.1.10) отримаємо характеристичне рівняння
. (4.1.11)
Якщо рівняння (4.1.11) має різні дійсні корені і , тоді загальний розв'язок рівняння (4.1.10) має вигляд
. (4.1.12)
Якщо рівняння (4.1.11) має кратний корінь , тоді загальний розв'язок рівняння (4.1.10) має вигляд
. (4.1.13)
Якщо рівняння (4.1.11) має комплексні корені і , тоді загальний розв'язок рівняння (4.1.10) має вигляд
. (4.1.14)
Якщо корені чисто уявні і , тоді .
Зауваження. У усіх випадках якщо відомі початкові умови , можна знайти постійні .
○ Приклад 4.1.4. Знайти загальний (чи частинний) розв'язок диференціального рівняння другого порядку:
а) , що задовольняє початковим умовам і ; б) ; в) .
Розв'язання. а) Знайдемо характеристичне рівняння і його корені:
і .
Таким чином, загальний розв'язок рівняння – .
Оскільки , тоді з початкових умов знайдемо: . Тоді частинний розв'язок ;
б) Оскільки і , тоді загальний розв'язок рівняння – ;
в) Оскільки і , тоді загальний розв'язок рівняння – . ●
Загальний розв'язок неоднорідного рівняння (4.1.9) визначається формулою
, (4.1.15)
де – загальний розв'язок однорідного рівняння (4.1.10), а – частинний розв'язок рівняння (4.1.9).
Розглянемо розв'язок рівняння (4.1.9),наприклад, і спеціальними правими частинами :
1. Якщо не є коренем характеристичного рівняння (4.1.11), тоді частинний розв'язок рівняння (4.1.9) , де – многочлен –ої степені з невідомими коефіцієнтами, які знаходяться з (4.2.9) після підстановки в нього і прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях .
2. Якщо є коренем характеристичного рівняння (4.1.11) кратності (), тоді частинний розв'язок рівняння (4.1.9) , де , – многочлен –ої степені з невідомими коефіцієнтами, які знаходяться з (4.1.9) після підстановки в нього і прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях .
○ Приклад 4.1.5. Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння другого порядку .
Розв'язання. Знайдемо загальний розв'язок однорідного рівняння . Оскільки і , тоді загальний розв'язок рівняння – .
Знайдемо частинний розв'язок неоднорідного рівняння . Оскільки , и , тоді частинний розв'язок , де – постійна.
Підставимо в рівняння. Оскільки і , то:
.
Частинний розв'язок неоднорідного рівняння має вигляд , а загальний розв'язок неоднорідного рівняння представимо за формулою (4.1.15): . ●
Література: [1, с. 220 ‑ 243], [2, с. 325 ‑ 350], [3, с. 410 – 431], [5].
Дата публикования: 2015-04-06; Прочитано: 1388 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!