Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Диференціальним рівнянням називається рівняння відносно невідомої функції і її похідних різних порядків. Порядком диференціального рівняння називається порядок старшої похідної, що входить в це рівняння.
Звичайне диференціальне рівняння –го порядку в загальному вигляді можна записати так:
, (4.1.1)
де – незалежна змінна; – шукана функція змінної ; – її похідні.
Загальним розв'язком диференціального рівняння –го порядку (4.1.1)називається функція
, (4.1.2)
що має наступні властивості: 1) при будь–яких значеннях довільних постійних вона обертає рівняння (4.1.1) в тотожність; 2) значення постійних можна підібрати так, щоб вони задовольняли початковим умовам.
Частинним розв'язком диференціального рівняння –го порядку (4.1.1)називається рішення, що виходить із загального рішення (4.1.2) при фіксованих значеннях постійних , тобто функція
.
Загальним інтегралом диференціального рівняння –го порядку називається співвідношення виду , що неявно визначає загальне рішення цього рівняння.
Диференціальне рівняння першого порядку – це рівняння виду:
. (4.1.3)
Якщо це рівняння розв'язне відносно , тоді
або . (4.1.4)
Рівняння (4.1.4) є окремим випадком рівняння
. (4.1.5)
Диференціальне рівняння першого порядку (4.1.5) називається рівнянням із змінними, що відокремлюються, якщо функції і , де , – функції тільки , а , – функції тільки . Відокремливши (4.1.5) на і , отримаємо
. (4.1.6)
Рівняння (4.1.6) називається диференціальним рівнянням з відокремленими змінними: при знаходиться функція тільки від , при – тільки від . Узявши невизначені інтеграли від обох частин рівняння, отримаємо загальне розв'язок (чи загальний інтеграл). Інтеграли в (4.1.6) можуть виявитися такими, що не беруться, але рівняння вважається розв'язаним; говорять, що розв'язок знайдене в "квадратурі".
Зауваження. Можуть існувати особливі рішення рівняння (4.1.5), коли .
○ Приклад 4.1.1. Знайти розв'язок диференціального рівняння:
а) , що задовольняє початковій умові ;
б) .
Розв'язання. а)
– загальний розв'язок диференціального рівняння.
З початкових умов знайдемо: . Тоді частинне рішення .
б)
загальне рішення (інтеграл) рівняння. – особливий розв'язок рівняння. ●
Функція називається однорідною – го виміру, якщо при будь–кому виконується тотожність .
Наприклад, – однорідна функція виміру , – виміру і так далі.
Диференціальне рівняння першого порядку (4.1.5) називається однорідним, якщо функції і – однорідні функції одного і того ж виміру . Його можна розв'язати, якщо зробити заміну: і або . Після перетворень отримаємо рівняння із змінними ( і ), що відокремлюються. Загальний розв'язок (інтеграл) якого має вигляд: .
○ Приклад 4.1.2. Розв’язати диференціальне рівняння .
Розв'язання. Це однорідне диференціальне рівняння першого порядку, тому зробимо підстановку і :
.
Оскільки , тоді загальний розв'язок (інтеграл) має вигляд . ●
Лінійним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння виду
, (4.1.7)
де , – задані функції, неперервні для усіх .
Розв'язок рівняння (4.1.7) шукатимемо у вигляді добутку двох функцій і , тобто . Тоді
Функцію можна вибрати довільно так, щоб . Це диференціальне рівняння із змінними і , що відокремлюються. Його розв'язок .
Функцію знайдемо з рівняння . Це рівняння із змінними і , що відокремлюються. Його розв'язок .
Загальний розв'язок диференціального рівняння (4.1.7):
. (4.1.8)
○ Приклад 4.1.3. Знайти розв'язок диференціального рівняння , що задовольняє початковим умовам .
Розв'язання. Зробимо підстановку і , тоді рівняння розпадеться на два диференціальні рівняння із змінними, що відокремлюються: і .
Розв’яжемо перше рівняння
.
Розв’яжемо друге рівняння
Таким чином, загальний розв'язок диференціального рівняння
.
З початкових умов знайдемо: . Тоді частинний розв'язок . ●
Зауваження. Диференціальне рівняння може бути одночасно або лінійним і однорідним або зі змінними, що розділяються і однорідним (або в будь–якій іншій комбінації). Для вирішення диференціального рівняння потрібно вибирати найпростіший варіант з двох. Таким, наприклад, являється рівняння із змінними, що розділяються. Іноді рівняння одного класу може стати диференціальним рівнянням іншого класу за допомогою заміни змінних.
Дата публикования: 2015-04-06; Прочитано: 4203 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!