Мета роботи. Метою роботи є вивчення методів побудови математичних моделей з використанням регресійного аналізу, складання програм для даних методів

Метою роботи є вивчення методів побудови математичних моделей з використанням регресійного аналізу, складання програм для даних методів.

3.2. Завдання до лабораторної роботи

3.2.1. Вивчити методи кореляційного та регресивного аналізів, використання їх в побудові математичних моделей.

3.2.2. Розробити блок-схему алгоритму розрахунку коефіціентів кореляції між незалежними змінними та вектор взаємних кореляцій незалежних змінних із залежними змінними.

3.2.3. Розробити програми по п.3.2.2.

3.3. Основні теоретичні положення

3.3.1. Постановка задачи побудови математичних моделей з використанням кореляційного та регресивного аналізів.

Між випадковими величинами може існувати стохастичний зв'язок. При цьому одна з випадкових величин реагує на змінення іншої зміненням своєї функції розподілення.

Кореляційний зв'язок – це окремий випадок стохастичного зв'язку. При цьому змінення однієї випадкової величини змінює математичне очікування іншої. При кореляційному аналізі вирішуються три головних задачи – визначається наявність зв'язку, форма зв'язку та сила зв'язку.

Для визначення наявності лінійного зв'язку між двома випадковими величинами за результатами вибірки розраховується коефіціент кореляції r.

Чим ближче r до ±1, тим кореляційний зв'язок сильніший і при r =±1 кореляційний зв'язок переходить у функціональний.

Для оцінки зв'язку необхідно побудувати кореляційне поле (графічне відображення залежності досліджуємих випадкових величин), групування точок навколо якої-небудь кривої вказує на наявність зв'язку.

Якщо на одну випадкову величину, яка зветься залежною, оказують вплив декілька випадкових величин, які звуться незалежними, то такий зв'язок оцінюється множинним коефіціентом кореляції.

Одним із засобів оцінки впливу на випадкову величину декількох незалежних змінних є множинна лінійна регресія.

3.3.2. Опис алгоритму побудови множинного лінійної регресії.

Нехай випадкова величина Y залежить від змінних х1, х2,...,хk, які приймають в кожному спостереженні визначенні значення. Якщо провести серію з n спостереженнь, то результати спостереженнь можна представитиу слідуючому вигляді:

1-е спостереження у1 х11,х12,х13,...,х1k

2-е спостереження у1 х21,х22,х23,...,х2k

3-е спостереження у1 х31,х32,х33,...,х3k

............................................................................................

N-е спостереження у1 хN1,хN2,хN3,...,хNk

Залежність випадкової величини у від незалежних змінних х1, х2,..., хk в-ідображується у рівнянні множ1инної регресії:

у=b0+b1*х1+b2*х2+...+bk*xk (3.1)

Для отримання оцінок B0, B1, B2,..., Bk коефіціентів регресії b0, b1, b2,..., bk використовується метод найменших квадратів.

Оцінки Вs, s=0, k отримуються з рішення систем рівняннь, утворених приравнюванням до 0 окремих похідних за bs формулою:

(3.2)

Для оцінки параметра В0 отримаємо:

(3.3)

Параметр В0 зветься свободним членом та визначає перетин координати при рівних 0 незалежних змінних. Вираз для оцінок Bs, s=1, k, визначаэться наступним чином. Введемо позначки:

1<<r<<s<<K (3.4)

(3.5)

Елементи Lrs образують матрицю, визначник якої позначимо Z та, якщо позначити Zs визначник матриці, отримуємой заміною S-го стовбця L0s, S=1, k то:

(3.6)

На основі елементів матриці розраховуються парні коефіціенти кореляції ris між незалежними змінними xs, i,s=1, k та коефіціенти кореляції ri0 між залежной змінной у та незалежними змінними. Елементи ris складають кореляційну матрицю. Виходячи з парних коефіціентів кореляції розраховується коефіціент множинной кореляції:

(3.7)

де - елементи матриці, зворотньої кореляційній матриці.

3.4. Опис методіки та алгоритму програм побудови регресійних моделей

Методіка реалізується за допомогою програми, якій присвоюється назва RGR.

3.4.1. Вводиться алфавітно-цифрове найменування задачи, номер задачи, число спостережень у стовпці N, число змінних M, число варіантів NS, ознака друку таблиці залишків NRESI номера стовпця незалежної змінної, k - число незалежних змінних ISAVE.

3.4.2. Звернення до підпрограми СORRE, у якій зчитуються результати спостережень Xij, X=1,N, j=1,M; розраховуються середні Xj, середнє – квадратичні Sj, суми взаємних відхиленнь Tj, коефіцієнтів кореляції Rjk.

3.4.3. Організується цикл по числу варіантів розрахунку.

3.4.4. Звернення до підпрограми ORDER, у якій із повної матриці коєфіциєнтів кореляції будується підматриця взаємної кореляції між незалежними змінними і вектор взаємних кореляцій незалежних перемінних із залежними перемінними. Утворюється матриця Rx(K,K) із взаємних коефіцієнтів кореляції між незалежними змінними, а масив Ry(K) із коефіцієнтів кореляції між залежною змінною і незалежними змінними.

3.4.5. Звернення до підпрограми MINV, у якій відбувається звернення матриці Rx(K,K) та розраховується визначник DET.

Звернення до підпрограми ORDER, у якій відбуваються розрахунки множинної лінійної регресії:

розраховуються коефіцієнти регрессії за методом найменших квадратів:

(3.8)

де Sy – стандартне відхилення залежної змінної; Sj – стандартне відхилення j-ї незалежної змінної, j=1,K;

визначається перетин:

(3.9)

де у, х – середнє залежної та j-ої незалежної змінних;

розраховуються суми квадратів:

(3.10)

розраховується F- критерій:

(3.11)

розраховується стандартна похибка оцінки:

(3.12)

розраховується стандартне відхилення коефіцієнтів регресії:

(3.13)

де Djj – сума квадратів відхилень від середнього для j-ої незалежної змінної;

розраховуються t-критерії:

(3.14)

3.4.6. Формування та друк вихідної машинограми.

3.5. Методичні вказівки до виконання лабораторної роботи

3.5.1. Для виконання пп. 3.2.2 необхідно ознайомитися із конспектом лекцій, вивчити методи побудови математичних моделей з використанням регресійного аналізу.

3.5.2. Для виконання пп. 3.2.2 необхідно вивчити методи розрахунку коефіцієнтів кореляції.

3.5.3. Програми на пп. 3.2.2, 3.2.3 розробити з урахуванням вводу вихідних даних лаб.№1.

3.6. Зміст звіту

3.6.1. Мета роботи.

3.6.2. Опис методів кореляційного та регресійного аналізів, побудова математичних моделей.

3.6.3. Тексти програм пп. 3.2.3.

Контрольні питання

1 Сформулювати задачу побудови математичної моделі на основі кореляційного та регресійного аналізів.

2 У чому заключається задача кореляційного аналізу?

3 У чому заключається задача регресійного аналізу?

4 Коефіцієнт регресії та його властивості.

5 Поняття кореляційного відхилення. Його властивості.

6 Кореляційна таблиця. Методи її побудови.

7 Як розраховуються коефіцієнти рівняння регресії?

8 Рівняння регресії першого порядку.

9 Рівняння регресії другого порядку.

10 Якими методами можна обчислити коефіцієнти рівняння регресії?

11 Як визначити адекватність рівняння регресії?

12 У чому заключається принцип вибіра найкращої математичної моделі?