Диференційованість функції однієї змінної. Правила обчислення похідних

Спочатку розглянемо поняття дотичної. Відоме зі шкільного курсу, воно носить формальний характер і не дозволяє побудувати дотичну в загальному випадку. Дамо інше визначення дотичної.

Виберемо на кривій точку і проведемо в ній будь-яку січну (рис. 6.1). Якщо точку пересувати вздовж кривої до точки , то січна буде займати положення , і т.д.

Рисунок 6.1 – Ілюстрація к поняттю дотичної

Припустимо, що при необмеженому наближенні точки до точки січна намагається зайняти певне положення . В цьому випадку пряму називають дотичною до кривої в точці .

Звернемо увагу на те, що точку ми вибираємо довільно, тобто з будь-якого боку від точки , але граничне положення січної повинне бути тим самим (рис. 6.2). Якщо залежно від вибору точки січна прагне зайняти різні положення, то дотичної у точці не існує (або говорять, що існує правобічна та лівобічна дотичні) (рис. 6.3).

Рисунок 6.2 – Вертикальна дотична

Рисунок 6.3 – Відсутність дотичної в точці

На рис. 6.2 дотичною до кривої в точці є пряма , на рис. 6.3 дотичної у точці не існує (існує лівобічна дотична і правобічна дотична ; дотична в точці існувала б у тому випадку, якби збіглася б з ).

Дамо означення поняттю похідної.

Нехай – деяка функція, задана на інтервалі . На кривій, що визначається рівнянням візьмемо довільну точку з абсцисою з інтервалу . Значення функції в цій точці буде . Надамо аргументу приросту таким чином, щоб точка теж належала інтервалу . Новому значенню відповідає точка кривої. Значенням функції в новій точці буде .

Рисунок 6.4 – Ілюстрація поняття похідної

Приріст функції складе (рис. 6.4) . Побудуємо відношення , яке показує, у скільки разів «у середньому» приріст функції більше (або менше) приросту її аргументу. Це відношення називають середньою швидкістю зміни функції на ділянці . Чим менше значення , тим краще середня швидкість на ділянці буде характеризувати ту швидкість, з якої міняється функція в точці . Тому за швидкість зміни функції в точці природньо прийняти границю

.

Ця границя і називається похідною.

Якщо існує скінченна границя відношення при , то цю границю називають похідною функції в точці і позначають . (6.1)

Означення похідної можна подати й у такому вигляді.

Похідною функції називають границю відношення приросту функції до нескінченно малого приросту аргументу, який його викликав.

Знаходження похідної функції називають її диференціюванням. Якщо функція має похідну в точці , то кажуть, що функція диференційована в точці . Якщо функція диференційована в кожній точці інтервалу , то вона є диференційованою на інтервалі .

Похідна представляє собою швидкість зміни функції в точці , тобто швидкість, з якою змінюється функція при переході через точку. Такий найбільш загальний зміст похідної.

Поняття похідної дозволяє характеризувати локальну поведінку функції і ввести апарат дослідження функцій.

Розглянемо на площині криву , задану рівнянням (рис. 64). Візьмемо точки і на кривій . Пряма називається січною. Вона утворює з додатним напрямком осі кут . Кутовий коефіцієнт січної дорівнює тангенсу . З розгляду трикутника маємо .

Почнемо рухати точку вздовж кривої до точки . При цьому точка нескінченно наближується до точки , а січна змінює своє положення, аж доки не займе положення дотичної . Пряма утворює з віссю кут , тому її кутовий коефіцієнт дорівнює .

При нескінченному наближенні точки до точки січна нескінченно наближується до дотичної . Отже, при цьому або, враховуючи неперервність тангенса(очевидно, що умову можна замінити )

.

Таким чином, кутовий коефіцієнт невертикальної дотичної до графіка функції в точці дорівнює значенню похідної в точці : . У цьому полягає геометричний зміст похідної.

Механічний зміст похідної: похідна функції в точці визначає швидкість зміни функції в цій точці.

У теоретичному плані підкреслимо, що існування границі, якою виражається похідна, треба розуміти в загальному значенні існування границі функції в точці. Це означає, що повинна існувати не тільки при , але й при , причому обидві границі повинні збігатися. У цій вимозі й полягає умова існування похідної у точці .

З геометричної точки зору ця умова означає незалежність граничного положення січної від того, чи вибирали ми точку праворуч або ліворуч від точки , на що було зазначено раніше.