Умови взаємного розташування на площині точок і прямих

Умова перпендикулярності двох прямих:

	Якщо і - нормальні вектори перпендикулярних прямих і , то ці вектори ортогональні ;
	Якщо перпендикулярні прямі і задані своїми загальними рівняннями і , то .
	Якщо прямі і перпендикулярні, то .

Умова паралельності двох прямих:

	Якщо і - нормальні вектори паралельних прямих і , то ці вектори колінеарні: , тобто ;
	Якщо паралельні прямі і задані своїми загальними рівняннями і , то або .
	Якщо прямі і паралельні, то їх кутові коефіцієнти співпадають: .
	Якщо виконується відношення , то прямі і співпадають.

Відстань між двома точками і на площині визначається формулою:

. (2.23)

Відстань між точкою і прямою характеризується відношенням:

. (2.24)

Формули ділення відрізку у відношенні :

, . (2.25)

Приклад 2.9.

Обчислити відстань від точки до прямої і знайти рівняння прямої, що проходить через і є перпендикулярною до .

Розв’язання. Для прямої l₁ кутовий коефіцієнт . З умови перпендикулярності прямих одержимо . Згідно формули (2.17) рівняння прямої , що проходить через задану точку в заданому напрямку, що визначається кутовим коефіцієнтом , маємо . Тоді .

Відстань від точки до дорівнює: .

Приклад 2.10.

Точка розділяє відрізок : у відношенні . Через т. провести пряму, що складає кут 135° з віссю .

Розв’язання. За формулами (2.25) знайдемо координати точки :

.

Кутовий коефіцієнт прямої, що треба побудувати . Тоді за формулою (2.17) запишемо рівняння прямої, що проходить через задану точку у заданому напрямку :

, або .

Приклад 2.11.

За координатами вершин , , трикутниказнайти: а) рівняння лінії , б) рівняння висоти , в) довжину висоти .

Розв’язання. а) Знайдемо рівняння лінії, що проходить через точки і : , або , тобто . Таким чином, загальне рівняння : .

б) Запишемо спочатку рівняння з кутовим коефіцієнтом: . Таким чином, ‑ кутовий коефіцієнт прямої . Пряма , значить кутовий коефіцієнт прямої дорівнює . Користуючись рівнянням прямої (2.17), яка проходить через точку в заданому напрямку, маємо рівняння : , або , , .

в) Довжина висоти ‑ це відстань точки до прямої . Значить, за формулою (2.24)

(од.)

Контрольні питання зі змістового модуля I