Натуральные уравнения кривой

С каждой гладкой кривой, кривизна которой во всех точках отлична от нуля, мы связали функции: которые могут быть найдены по произвольной параметризации этой кривой. Спрашивается: определяют ли эти функции полностью кривую и нет ли между ними каких-либо соотношений?

Мы можем наложить на них только тривиальные ограничения. Функции эти непрерывны, кроме того, при любом Легко видеть, что от трех функций можно перейти к двум, взяв за параметр длину дуги s. Тогда будут функциями, связанными непосредственно с кривой (и направлением на ней). Нам остается узнать, определяют ли они кривую однозначно и нет ли между ними каких –либо соотношений.

Теорема. Пусть - две гладкие кривые, имеющие одинаковую длину, и -их естественные параметризации. Если в соответствующих точках эти кривые имеют одинаковые кривизну и кручение: , то существует наложение, переводящее кривую в кривую .

Другими словами, кривизна и кручение определяют кривую с точностью до положения в пространстве.

Можно показать, что между кривизной и кручением нет нетривиальных соотношений. Более точно, для любых непрерывных функций , определенных на отрезке , первая из которых положительна, существует гладкая кривая С, кривизна и кручение которой определяются этими функциями:

Соотношения называются натуральными уравнениями кривой С. Их достоинство заключается в том, что они никак не зависят от выбора координат.