Кванторні операції над предикатами

Для перетворення одномісного предиката у висловлення потрібно підставити замість його змінної деякий конкретний предмет із області визначення предиката. Є ще один спосіб такого перетворення - це застосування до предикату операції зв’язування квантором загальності або квантором існування.

Квантор загальності. Операцією зв’язування квантором загальності називається правило згідно якому кожному одномісному предикату Р(х), визначеному на множні М, ставиться у відповідність висловлення, яке позначається xP(x) й читається так: ”для всякого х істинне Р(х)”, причому, це висловлення є істинним втому й тільки в тому випадку, коли предикат Р(х) тотожно істинний, і хибне у іншому випадку,

У виразі xP(x) змінна х уже перестає бути змінною в звичайному розумінні цього слова, тобто замість неї не можна підставляти які б то не було конкретні значення. Говорять, що у виразі xP(x) змінна х є зв’язаною (німою) змінною.

Якщо одномісний предикат P(x) заданий на скінченій множині , то висловлення xP(x) еквівалентне кон’юнкції .

Для предикатів, визначених на нескінченній множині подібне твердження неможливе. У цьому випадку операція зв’язування квантором загальності є суттєво новою.

Оскільки висловлення можна розглядати як 0 -місний предикат, то можна сказати, що операція зв’язування квантором загальності ставить у відповідність одномісному предикату Р(х) 0 -місний предикат xP(x).

Розглянемо дану операцію для n -місних пердикатів.

Операцією зв’язування квантором загальності по змінній х_і називається правило, згідно якому кожному п -місному (п≥ 2) предикату , визначеному на множинах М₁, М₂,..., М_п, ставиться у відповідність новий (п- 1)-місний предикат, який позначається x_і (читається: ”для всіх x_і ”), який для будь-яких предметів перетворюється у висловлення x_і , істинне в тому й тільки в тому випадку, коли одномісний предикат , визначений на множині М_і, тотожно істинний, і хибний в іншому випадку.

Квантор існування. Операцією зв’язування квантором існування називається правило згідно якому кожному одномісному предикату Р(х), визначеному на множні М, ставиться у відповідність висловлення, яке позначається хP(x) й читається так: “існує значення х таке, що Р(х) істинне висловлення.”, причому, це висловлення хибне в тому й тільки в тому випадку, коли предикат Р(х) тотожно хибний, і істинне в іншому випадку.

Якщо одномісний предикат Р(х) заданий на скінченій множині Якщо одномісний предикат P(x) заданий на скінченій множині , то висловлення xP(x) еквівалентне диз’юнкції . Для предикатів, заданих на нескінченній множині, такого сказати не можна. а тому операція зв’язування квантором існування є суттєво новою.

Розглянемо операцію зв’язування квантором загальності для предикатів з довільним числом предикатних змінних.

Операцією зв’язування квантором існування по змінній х_і називається правило, згідно якому кожному п -місному (п≥ 2) предикату , визначеному на множинах М₁, М₂,..., М_п, ставиться у відповідність новий (п- 1)-місний предикат, який позначається x_і (читається: “існує таке x_і, що ”), який для будь-яких предметів перетворюється в висловлення x_і , хибне тоді й тільки тоді, коли одномісний предикат , визначений на множині М_\і тотожно хибний, й істинний в іншому випадку.

Зазначимо, що до (п- 1)-місного предикату x_і або x_і , який залежить від змінних можна знову застосувати операцію зв’язування квантором існування або квантором загальності по одній із вільних змінних. В результаті одержимо (п-2) -місний предикати, наприклад x₂ х₁ .

Поставимо у відповідність одномісному предикату P(x) висловлення “існує один і тільки один об’єкт, який має властивість P “. У цьому випадку говорять, що задано операцію зв’язування квантором існування й єдиності. Цю операцію записують так $! хР(х).