Лекальные кривые

ГЛАВА IV

КРИВЫЕ ЛИНИИ

Кривые линии встречаются в очертаниях от­дельных элементов деталей машин и механиз­мов, а также в очертаниях конструкций различ­ных строительных сооружений. Если все точки кривой линии лежат в одной плоскости, такие кривые называют плоскими кривыми.

ЛЕКАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ

Лекальные кривые называют так потому, что они обводятся по лекалу. Принадлежащие им точки не лежат на окружностях или дугах, их строят по определенным законам, соединяют тонкой плавной линией от руки и обводят по лекалу небольшими участками. Приемы обвод­ки кривых линий по лекалу подробно рассмот­рены в § 2.

В технике часто встречаются детали, име­ющие сложные очертания, состоящие из различ­ных криволинейных участков, в том числе и из лекальных кривых. На рис. 161 показаны такие детали: маховое колесо, гайка, кронштейн, ку­лачок.

Лекальные кривые получаются при пересече­нии поверхностей плоскостями, при перемеще­нии какой-либо точки в плоскости по опреде­ленному закону, могут графически отражать за­кономерности какого-либо процесса, являться проекциями пространственных кривых и т. п. По характеру образования лекальные кривые можно разделить: на кривые конического сече­ния, циклические кривые, спирали, синусои­дальные кривые. Рассмотрим несколько кривых из каждой группы.

Кривые конического сечения — эл­липс, параболу, гиперболу — можно получить при пересечении прямого кругового конуса плоскостями различного положения по отноше­нию к образующим и оси конуса.

Эллипс — это плоская кривая линия, у которой сумма расстояний от любой точки этой кривой до двух ее фокусов (F₁ и F₂), располо­женных на большой оси, есть величина постоян­ная, равная большой оси эллипса. Например, сумма расстояний от точки М до двух фокусов F₁ F₂ (рис. 162) равна величине большой оси эллипса АБ, то есть F₁M+F₂M=AB. Эллипс всегда имеет две взаимно перпендикулярные оси (большую и малую). На рис. 162 дана боль­шая ось А В = 2а и малая ось CD = 26, требуется построить эллипс, используя для этого его фокусы. Сначала находят два фокуса F₁ и F₂. Для этого из точек С или D проводят дугу радиусом R=a до пересечения с большой осью в точках F₁ и F₂. Эти точки являются фокусами, так как точка С принадлежит эллип­су, a CF₁+CF₂=AB по построению. Для по­строения точек М, M₁, M₂, М₃ произвольным радиусом R₁ (R₁ не больше расстояния F₁B) сначала из фокуса F₁, а потом из фокуса F₂ сверху и снизу от большой оси проводят неболь­шие дуги. Второй радиус (R₂) равен разности АВ – R₁. Радиусом R₂ из двух фокусов делают засечки на четырех ранее проведенных дугах, получают точки М, M₁, M₂ и М ₃. Число точек для построения очертания эллипса берется по необходимости, и все они строятся аналогично точкам М, M₁, М₂ и М₃.

Построение эллипса по заданным осям. За­даны оси эллипса АВ (большая) и CD (малая), требуется построить эллипс. Проводят две взаимно перпендикулярные прямые и от точки их пересечения (точка О) откладывают вверх и вниз по половине малой оси, а влево и впра­во— по половине большой оси (рис. 163). Из точки О описывают две концентрические окруж­ности: одну — через концы малой оси, а вто­рую — через концы большой оси. Большую окружность делят на любое число равных час­тей, например, двенадцать, все точки деления соединяют прямыми с точкой О. Эти двенадцать радиусов разделяют малую окружность тоже на двенадцать равных частей. Из всех две­надцати точек, лежащих на большой окруж­ности, проводят прямые, параллельные малой оси, а из точек, лежащих на малой окружности, проводят прямые, параллельные большой оси эллипса, до пересечения друг с другом. В пере­сечении этих прямых получают точки, принад­лежащие эллипсу. Затем эти точки соединяют от руки плавной линией и обводят по лекалу.

Парабола — это плоская кривая, каждая точка которой удалена на одинаковое расстоя­ние от заданной точки F (фокус) и заданной прямой ЛВ (директриса). Парабола имеет одну ось симметрии. Между директрисой и фо­кусом задается расстояние. Вершина параболы (точка О) всегда находится посередине этого расстояния, потому что она, как и любая точка параболы, должна находиться на одинаковом расстоянии от фокуса и директрисы. На рис. 164 показано построение параболы, где задано расстояние между директрисой и фокусом (от­резок KF). Через точку К проводят директрису, параллельно директрисе произвольно проводят несколько прямых. Первая прямая проведена через фокус F. Из точки F радиусом R₁=a проводят дугу до пересечения с прямой в точ­ках D и D₁. Эти точки будут принадлежать параболе, так как они находятся на одинаковом расстоянии (а) от директрисы и фокуса. Вторая прямая проведена на расстоянии b от директ­рисы. Из точки F проводят дугу радиусом R2=b до пересечения с этой прямой в точках М и M₁, которые будут принадлежать параболе, так как находятся на одинаковом расстоянии (b) от директрисы и фокуса, и т. д.

Спираль —плоская кривая, описываемая точкой, которая вращается вокруг неподвиж­ного центра и одновременно удаляется от него в соответствии с определенной закономерностью.

Спирали широко используются в технике при конструировании зажимных эксцентрико­вых приспособлений, в кулачковых патронах и механизмах, при конструировании фрез, при изготовлении плоских пружин и т. п.

Спираль Архимеда - кривая, обра­зованная движением точки, равномерно дви­жущейся по прямой, которая, в свою очередь, равномерно вращается в плоскости вокруг неподвижной точки, принадлежащей этой прямой. Характер спирали Архимеда опреде­ляется шагом t, т. е. расстоянием, которое пройдет точка по прямой за один полный оборот этой прямой на 360°. Вращение прямой может происходить как по часовой стрелке, так и против.

Рассмотрим способ построения спирали Архимеда с шагом t и вращением прямой по часовой стрелке. Чтобы построить спираль, необходимо зафиксировать несколько проме­жуточных положений точки и прямой, по которой она перемещается. Для этого вспо­могательная окружность, проведенная радиу­сом, равным t и отрезок 08, равный шагу, делятся на одинаковое число равных частей, например, на восемь (рис. 173). Начальная точка (К₀) совпадает с точкой О. Отрезок O₈, по которому движется точка, вращается так, что один конец (точка О) неподвижен. При повороте отрезка на ¹/₈ полного угла (45°) точка К пройдет ¹/₈ своего пути. По­этому если из центра О радиусом О₁ провести дугу до пересечения с прямой, проведенной через точку V и центр О, получим точку К и принадлежащую спирали. Если провести дугу радиусом О₂ до пересечения с прямой О₂', получится точка К ₂, принадлежащая спирали, и т. д. При полном обороте отрезка О₈ вокруг точки О отрезок совпадает со своим началь­ным положением, а точка К займет положе­ние К ₈. Полученные точки К₀…К₈ соединяют плавной линией, которую обводят по лекалу. При вычерчивании следующего витка спи­рали построение продолжают таким же обра­зом, увеличивая радиус на ¹/₈ шага. На рис. 173 это показано штриховой линией. Дальнейшеепостроение можно выполнить и другим способом. Для этого от точек К₁...К₈ откладывают по прямым О₁'...О₈' отрезок, равный шагу t, получают точки К₀…К₁₆.

Эвольвента окружности — плоская кривая линия, представляющая собой траек­торию точки окружности при ее развертыва­нии. Слово «эвольвента» — латинское, озна­чает «развертывающий».

Эвольвенту окружности можно получить, если поверхность цилиндра обернуть упругой проволокой в один полный оборот и закрепить один ее конец. Отпущенный второй конец, развертываясь (распрямляясь в отрезок), опишет в пространстве кривую, которая и будет эвольвентой. При этом длина проволоки будет равна длине окружности основания данного цилиндра (2πR).

Такую же кривую описывает любая точка прямой линии, катящейся без скольжения по окружности. Эвольвента используется при профилировании кулачков, эксцентриков, зубьев зубчатых передач и т. п.

Если окружность разделить на любое число равных дуг и представить развертывание и выпрямление каждой дуги в отрезок прямой линии, то полученные отрезки будут касательными к заданной окружности. Точки касания будут точками окончания каждой дуги кото­рые будут одновременно начальными точками следующих дуг. А как известно, касательная перпендикулярна к радиусу окружности проведенному в точку касания.

На рис. 174 показано построение эвольвентыокружности. Заданную окружность делят на любое число равных дуг (в данномслучае на восемь), получают точки 1...8. Каждую точку деления соединяют с центром окружности (точка О). Из точки 8 проводят касательную к окружности и откладывают на ней длину окружности (2πR). Этот отрезок будет развернутой окружностью. Точка 8' будет принадлежать эвольвенте. Затем полу­ченный отрезок делят на восемь равных частей и получают отрезки, равные ¹/₈ длины окружности, для определения длины каждой развернутой дуги. Далее через точки 1...8 проводят касательные и откладывают отрезки, равные длине соответствующей дуги. От точки 1 откладывают отрезок, равный длине развернутой дуги О׳1'. От точки 2 — отрезок, равный длине развернутой дуги О'2׳ и т. д. Получают точки K₁...К₈, принадлежащие эвольвенте. Полученные точки соединяют плавной кривой линией, которую обводят по лекалу.

Синусоида — плоская кривая линия, изображающая изменение синуса в зависи­мости от изменения угла а. Она используется в построении проекций винтовых линий.

На рис. 175 показано построение синусоиды. Прямая Ох - ось синусоиды, t — шаг или длина волны. На рис. 175 t=2πR. Если t = 2πR, синусоида называется нормальной; при t<2πR синусоида сжатая; при t<2πR синусоида растянутая. Высшая и низшая точки синусоиды называются вершинами. На рис. 175 это точки K₂ и К₆-

Для построения синусоиды проводят оси координат Ох и Оу. На некотором расстоянии слева от точки О проводят окружность задан­ного радиуса R. Вправо от точки О по оси Ох, откладывают отрезок t — заданный шаг (в данном случае t—2πR). Окружность и отрезок t делят на одинаковое число равных частей (на рис. 175—на восемь равных частей). Из точек деления отрезка проводят перпендикуляры, на которых откладывают отрезки, равные соответствующим полухордам (1т, О₁2 и т. д.). Для этого из точек 1...8 деления окружности проводят прямые, парал­лельные оси Ох, до пересечения с перпенди­кулярами из соответствующих точек 1׳...8' деления отрезка t, получают точки К₁...К₈. Эти точки принадлежат синусоиде. Их соединяют от руки тонкой плавной линией, которую обводят по лекалу.

РАЗДЕЛ

II