Решение типовых примеров. Пример 3.Электрический контур состоит из последовательно включенных (рис.12.4) источника тока с постоянной ЭДС сопротивления R

Пример 3. Электрический контур состоит из последовательно включенных (рис.12.4) источника тока с постоянной ЭДС сопротивления R, индуктивности L и емкости С. Исследовать ток I(t) в цепи в зависимости от времени t.

Решение. В момент времени t падение напряжения на сопротивлении на индуктивном элементе на емкостном элементе (предполагается, что включение цепи происходит в момент времени t=0). По второму закону Кирхгофа т.е.

После дифференцирования полученного соотношения приходим к однородному уравнению

Начальные данные: Характеристическое уравнение имеет корни

Так как R,C,L - положительные, то и . Таким образом, как следует из структуры общего решения,

Если то

Учитывая начальные данные, имеем

Следовательно,

Если то

Используя начальные данные, имеем

Если то

Отсюда, используя начальные данные, получаем,

Пример 4. Рассмотреть процесс, протекающий при размыкании электрической цепи (рис.12.5). Найти напряжение между размыкающими контактами.

Решение. Составим дифференциальное уравнение для цепи после размыкания ключа К. По второму закону Кирхгофа имеем

Решение однородного уравнения, соответствующего неоднородному, называется свободным током

Частное решение неоднородного уравнения называется установившимся током ; для данного уравнения Следовательно,

Использовав начальные данные задачи, имеем