Решение типовых примеров. Пример 1. Тело совершает 90 колебаний в минуту, амплитуда колебаний уменьшается вдвое в течение 15 с

Пример 1. Тело совершает 90 колебаний в минуту, амплитуда колебаний уменьшается вдвое в течение 15 с. Составить дифференциальное уравнение движения.

Решение. Так как тело совершает затухающие гармонические колебания, то закон движения имеет вид

где - частота колебаний, а период колебаний Из условия задачи следует, что одно колебание тело совершает за 60/90 с. Следовательно, Т=2/3 и Учитывая, что при t=0 амплитуда колебания равна А, а при t=15 с имеем и где А, -произвольные постоянные. Дифференциальное уравнение второго порядка, общим решением которого является x(t) и корни характеристического уравнения имеет вид

Пример 2. На идеально гладкой плоскости, наклоненной к горизонту под углом (рис.12.1), находится груз массой m=1кг, прикрепленный к пружине, жесткость которой Определить закон колебаний груза, если он отпущен без начальной скорости из положения, при котором пружина не деформирована.

Решение. На рис. 12.1 ось Ох совпадает с направлением движения груза вдоль наклонной плоскости, за начало координат выбрана точка статического равновесия. Сила упругости пружины где -изменение длины пружины по сравнению с ее естественным (ненапряженным) состоянием: l- удлинение пружины при равновесии. Обозначим через длину пружины до деформации. Так как на систему, кроме силы упругости, действует еще вес груза где то дифференциальное уравнение движения

В точке х=0 имеет место равновесие, то есть при этом Из предыдущего уравнения имеем следовательно, т.е. дифференциальное уравнение закона движения груза не зависит от статического удлинения пружины. Учитывая, что в начальный момент времени t=0 пружина была не деформирована и груз был отпущен без начальной скорости, математическую модель движения груза запишем в виде

где или

Используя данные задачи, имеем Следовательно, амплитуда колебаний А=0,1см, а период колебаний