Интегрирование разрывных функций

Пусть функция и ее производные кусочно непрерывны. Предполагаем, что в точках разрыва существуют односторонние производные требуемых порядков.

Разобьем отрезок интегрирования на отрезки так, чтобы на этих отрезках функция и m ее низших производных были непрерывны. На концах отрезков в качестве значений функции возьмем соответствующие односторонние пределы.

Представим интеграл в виде суммы интегралов по отрезкам непрерывности. Для вычисления интеграла на каждом отрезке применим квадратурную формулу порядка точности . Если одновременно и одинаково сгущать сетки на всех отрезках непрерывности, то порядок точности будет p, как и для непрерывных гладких функций. В этом случае, применив правило Рунге достаточное количество раз, можно повысить порядок точности до m.

Если же сгущать сетки, не деля отрезок интегрирования на отрезки непрерывности, то погрешность хотя и будет уменьшаться, но с невысокой скоростью. В этом случае порядок формулы неопределен, и применять правило Рунге или процесс Эйткена нельзя.

Пример 12.28. Рассмотрим вычисление интеграла

.

Здесь подынтегральная функция – непрерывная и гладкая, но вторая производная имеет разрыв в точке .

Если для этой функции выделить отрезки непрерывности, то формула Симпсона дает точный ответ:

.

Если же сгущать равномерную сетку делением пополам, то точка никогда не будет узловой, и следует ожидать плохой сходимости. Результаты расчетов по формулам трапеций и Симпсона приведены в таблице; h обозначает длину подотрезков.