Задание 5.11. На основе квартальных данных с 1971 по 1976г. c помощью метода наименьших квадратов получено следующее уравнение

В скобках указаны стандартные ошибки, RSS=110.32, ESS =21.43.

а) проверьте значимость каждого из коэффициентов;

б)найдите коэффициент детерминации;

в) протестируйте значимость регрессии в целом.

Задание 5.12. Дана стандартная двумерная регрессионная модель , .

а) Чему равна МНК-оценка коэффициента β при ограничении α=0?

б) Чему равна дисперсия оценки в а) покажите, что она меньше, чем -дисперсия МНК-оценки в регрессии без ограничения. Противоречит ли это теореме Гаусса-Маркова?

Контрольные вопросы

1. Приведите уравнение множественной линейной регрессии в матричной форме.

2. Сформулируйте теорему Гаусса- Маркова.

3. Каким образом проверяется значимость коэффициентов модели линейной регрессии.

Практическое задание 6. Гетероскедастичность, автокорреляция случайного члена

Гетероскедастичность. Вторым условием Гаусс-Маркова регрессионного анализа является предположение о постоянстве дисперсии случайного члена для всех наблюдений (гомоскедастичность-«гомос»-равный, одинаковый), т.е. , (). Это значит, что для каждого значения объясняющей переменной случайные члены имеют одинаковые дисперсии.

Если это условие не соблюдается, т.е. дисперсия случайного члена меняется от наблюдения к наблюдению то имеет место гетероскедастичность («гетерос»-разный, другой).

При гетероскедастичности коэффициенты регрессии будут несмещенными, но неэффективными. Вследствие этого окажутся завышенными t –статистики, и будут сделаны неверные выводы о значимости коэффициентов уравнения регрессии.

Существуют различные способы выявления гетероскедатичности.

Тесты на гетероскедастичность. Существует несколько тестов на гетероскедастичность. Во всех этих тестах проверяется основная нулевая гипотеза о равенстве дисперсий (наличие гомоскедастичности, отсутствие гетероскедастичности) против альтернативной гипотезы не

Тест ранговой корреляции Спирмена

При выполнении теста ранговой корреляции Спирмена предполагается, что дисперсия случайного члена будет либо увеличиваться, либо уменьшается по мере увеличения х, и поэтому в регрессии, оцениваемой с помощью МНК, абсолютные величины остатков и значения х будут коррелированы. Данные по х и остатки упорядочиваются, и коэффициент ранговой корреляции определяется как

,

где -разность между рангом х и рангом е.

Если предположить, что коэффициент корреляции для генеральной совокупности равен нулю, то коэффициент ранговой корреляции имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1/(n-1) в больших выборках. Следовательно, соответствующая тестовая статистика равна , и при использовании двухстороннего критерия нулевая гипотеза об отсутствии гетероскедастичности будет отклонена при уровне значимости в 5%, если она превысит 1,96, и при уровне значимости в 1%, если она превысит 2,58. Если в модели регрессии имеется более одной объясняющей переменной, то проверка гипотезы может выполняться с использованием любой из них.

Автокорреляция. Если 3-е условие Гаусса-Маркова – условие независимости случайного члена в любом наблюдении от его значений во всех других наблюдениях не выполняется, т.е. , , то возникает явление автокорреляции, т.е. говорят, что случайный член подтвержден автокорреляции.

В этом случае коэффициенты регрессии, получаемые по методу наименьших квадратов оказывается хотя и несмещенными, но неэффективными, а их стандартные ошибки рассчитываются некорректно, т.е. занижаются.

Автокорреляция обычно встречается в регрессионном анализе при использовании данных временного ряда.

Необходимым условием независимости случайных членов является их некоррелированность для каждых двух соседних значений.

Пусть -коэффициент корреляции между соседними случайными членами и .

Если: , то автокорреляция положительная;

, то автокорреляция отрицательная;

, то автокорреляция отсутствует и 3-е условие Гаусса-Маркова выполняется.

Для проверки нулевой гипотезы используют статистику Дарбина-Уотсона, которая рассчитывается по формуле:

, 0≤DW≤4,

Если автокорреляция отсутствует, т.е. , то .

При положительной автокорреляции т.е. r>0 имеем 0≤DW≤2.

При отрицательной автокорреляции, т.е. r<0 соответственно .

Пример 6.1 Пусть оценена парная регрессия по n=15 наблюдениям и DW=d=0,9. Зададим уровень значимости (т.е. 5%) и найдем по таблице для Т=15 =1,077 и . Поскольку , то отклоняется и принимается гипотеза о положительной автокорреляции остатков.

Задание 6.1. Используя данные таблицы, постройте линейную модель зависимости потребительских расходов от валового регионального продукта на душу. Проведите тесты на наличие гетероскедастичности. В случае обнаружения гетероскедастичности примите меры для ее устранения или корректировки стандартных ошибок коэффициентов.

Таблица 6.1

Х
р	0,1	0,3	0,4	0,1	0,1

Задание 6.2. В таблице 6.2 приведены данные для экономики Казахстана за 1995-2004 годы по добыче нефти, включая газовый конденсат (X), реальному объему ВВП (Y), (базовый год 1994). Построить линейную модель зависимости реального ВВП от объема добычи нефти. Выполнить тесты на наличие гетероскедастичности.

Таблица 6.2

Т	Х	У
	20,4
	21,1
	23,4
	23,8
	30,1
	35,3
	40,1
	47,3
	51,5
	59,5

Задание 6.3. Получено оцененное уравнение регрессии с 5 объясняющими переменными по 36 наблюдениям. Вычисленное значение статистики Дарбина –Уотсона равно 2.23. Выполните тест на наличие автокорреляции, используя таблицы статистики Дарбина -Уотсона при 5-процентном и 1-процетном уровне значимости.

Таблица 6.3

годы	U	π
	9,2	5,6
	8,9	5,8
	8,6	6,2
	7,5	6,8
	6,8	7,4
	6,2	7,3
	7,3	7,2
	7,8	7,9
	7,1	8,5
	7,5	8,2

Задание 6.4. Используя данные из таблицы, исследователь оценивает регрессионную зависимость выпуска продукции обрабатывающей промышленности на душу населения в 1970г.(М) от валового внутреннего продукта на душу населения в том же году (как М, так и G измеряются в долларах США) и получает формулу (в скобках приводятся стандартные ошибки):

; R²=0,69.

1. Изобразите диаграмму рассеяния, используя данные из таблицы, и объясните, почему исследователь может подозревать наличие гетероскедастичности.

2. Как гетероскедастичность будет влиять на свойства оцениваемых коэффициентов?

Контрольные вопросы:

1. Как можно обнаружить гетероскедастичность?

2. Что такое гомоскедастичность?

3. Объясните, почему при гетероскедастичности коэффициенты регрессии будут несмещенными и неэффективными.

4. Какие способы выявления гетероскедатичности, вы знаете?

5. При каких условиях возникает явление автокорреляции?

6. В чем заключается разница между положительной автокорреляцией и отрицательной автокорреляцией?

7. В чем заключается метод Дарбина-Уотсона?

Практическое занятие 7. Временные ряды

Совокупность наблюдений , ,…, анализируемой величины произведенных и последовательные моменты времени , , …, называется временным рядом.

Cуществуют два основных подхода к моделированю временных рядов, первый из них анализ трендов и сезонности. Это достаточно простой, интуитивный подход к оцениванию базовых компонентов временного ряда. Второй подход основан на авторегрессионных интегрированных моделях скользящего среднего. Оценивание таких моделей и получение на их основе прогнозов требует значительного использовании математического аппарата и компьютерных вычислений.

В методе анализа трендов и сезонности выделяются основные компоненты временного ряда: долгосрочный тренд, сезонность, циклические колебания и нерегулярная компонента.

Тренд показывает долгосрочное поведение временного ряда. Обычно тренд имеет форму прямой линии, экспоненты или параболы.

Задание 7.1. В таблице 7.1 даны квартальные данные производства товаров в экономике Казахстана

Таблица 7.1

год	квартал	Производство товаров в процентах к предыдущему кварталу
	I	71,2
II	103,2
III	135,5
IV	94,8
	I	70,5
II	108,5
III	157,8
IV	82,2
	I	73,7
II	112,8
III	127,4
IV	85,9
	I	79,8
II	116,1
III	141,4
IV	86,4
	I	77,2
II	122,4
III	139,3
IV	80,1

Проведите анализ трендов и сезонности и постройте прогноз для производства товаров в экономике РК в 2001 году. Сравните прогнозные квартальные значения этого показателя с его фактическими значениями по данным Агентства РК по статистике.

Задание 7.2. В таблице 7.2 содержатся квартальные индексы по экспорту товаров и услуг из Казахстана за 1996-2000 годы, квартал к соответствующему кварталу предыдущего года.

Таблица7.2

год	квартал	Экспорт товаров и услуг в процентах к соответствующему кварталу предыдущего года.
	I	131,8
II	102,2
III	87,3
IV	99,6
	I	105,5
II	84,4
III	108,6
IV	107,4
	I	102,0
II	104,1
III	74,1
IV	77,2
	I	53,4
II	83,9
III	137,4
IV	147,7
	I	262,3
II	152,3
III	86,7
IV	96,9

Проведите анализ трендов и сезонности и постройте прогноз для производства товаров в экономике РК в 2001 году. Сравните прогнозные квартальные значения этого показателя с его фактическими значениями по данным Агентства РК по статистике.

Контрольные вопросы:

1.Что называется временным рядом?

2. Какие временные ряды бывают по времени наблюдения?

3. Какие типы временных рядов, вы знаете?

4.Что такое тренд?

5. Какие существуют методы анализа временных рядов?

6.Назовите наиболее часто встречающиеся формы тренда.

Список литературы

1 Вентцель Е.С. Теория вероятностей. 3-е изд. М.: Наука,1998.

2 Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической стастике. Уч.пос. для вузов. М.: Высш.школа, 1999.

3 Дорохина Е.Ю., Преснякова Л.Ф., Тихомиров Н.П. Сборник задач по эконометрике.Уч.пос.М.: Изд-во «Экзамен», 2003.

4 Доугерти К. Введение в эконометрику. М.: ИНФРА-М, 1999. 402с.

5 Магнус Я.Р, Катышев П.К., Пересецкий А.А.. Эконометрика. Начальный курс. М.:Дело, 1997. -248с.

6 Катышев П.К., Пересецкий А.А. Сборник задач к начальному курсу эконометрики. -М.: Дело, 1999. -70с

Содержание

Введение
Практическое занятие 1. Элементы теории вероятности и математической статистики
Практическое занятие 2. Ковариация, дисперсия и корреляция
Практическое занятие 3. Модель парной линейной регрессии
Практическое занятие 4.Расчет стандартных ошибок коэффициентов регрессии a и b
Практическое занятие 5. Множественный регрессионный анализ
Практическое занятие 6.Гетероскедастичность, автокорреляция случайного члена
Практическое занятие 7.Временные ряды
Список литературы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

Казахский национальный технический университет имени К.И.Сатпаева

Кафедра Экономическая кибернетика

согласовано УТВЕРЖДАЮ

Руководитель службы Председатель научно-

стандартизации методического совета

_________Г.А.Бейсебекова ________А.М.Айсаутов

«___»__________2009г «___»__________2009г

Р.М.Алимжанова, К.К.Казбекова, Р.Т.Исмаилова