ЗАТВЕРДЖЕНО 3 страница

а) 1, б) ;

13) матриць порядку із дійсними елементами з фіксованим визначником відносно множення;

14) діагональних матриць порядку із дійсними елементами відносно додавання;

15) діагональних матриць порядку із дійсними елементами відносно множення;

16) діагональних матриць порядку із дійсними елементами, всі елементи діагоналей яких відмінні від нуля, відносно множення;

17) верхньотрикутних матриць порядку із дійсними елементами відносно множення;

18) нижньотрикутних матриць порядку із дійсними елементами відносно множення;

19) верхньотрикутних матриць порядку із дійсними елементами відносно додавання;

20) нижньотрикутних матриць порядку із дійсними елементами відносно додавання.

2. Доведіть, що одиничний елемент моноїда завжди має обернений та .

3. Доведіть, що обернений елемент єдиний.

4. Наведіть приклад моноїда, в якому обернений елемент має тільки одиничний елемент.

5. Наведіть по два приклади 1) груп з двох та трьох елементів; 2) скінчених та нескінчених груп.

6. Визначте тип алгебраїчної структури.

1) , , , , , ;

2) , , , , ;

3) , , , , ;

4) , ;

5) , де – множина векторів площини, які виходять з початку координат.

7. Доведіть, що якщо в групі виконується тотожність , то група комутативна.

4 ПІДГРУПИ

4.1 Мета заняття

Ознайомити студентів з конкретними прикладами підгруп; навчити студентів відрізняти підгрупи від довільних підмножин у групі; встановити деякі властивості підгруп.

4.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи

За темою студент повинен: знати поняття підгрупи, порядку елемента, властивості груп; вміти застосовувати теоретичний матеріал до розв’язання задач за темою [3, c. 140-143].

4.3 Контрольні запитання й завдання

1. Чи буде множина групою за множенням? Які елементи в оборотні?

2. Чи будуть парні числа підгрупою в за додаванням; непарні числа { } підгрупою в за додаванням?

3. Дайте визначення порядку елемента.

4.4 Приклади розв’язання аудиторних задач

Приклад 1. Підмножина H групи G називається підгрупою, якщо множина H, розглянута сама по собі, є групою відносно операції, заданої на G. Довести, що H є підгрупою мультиплікативної групи G, якщо виконуються такі умови:

1. ;

2. ;

3. .

Доведення. Для того, щоб Н була групою, необхідно перевірити виконання чотирьох аксіом групи:

· (замкненість);

· (асоціативність);

· (існування одиничного елемента);

· (існування оберненого елемента).

Враховуючи, що H – підмножина в G, а алгебраїчна операція в така сама, що і в , то асоціативність можна не перевіряти: те, що вірно для всіх елементів з групи G, вірно і для елементів з підгрупи H. Потрібно перевірити:

1) умову існування одиничного елемента ;

2) (замкненість);

3) у будь-якого h існує обернений елемент, тому що G – група, слід перевіряти умову .

Приклад 2. Які із зазначених нижче підмножин є підгрупами групи а) ; б) ; в) .

Розв’язок. Перевіряємо умови, сформульовані у прикладі 1:

а) . Отже, – підгрупа;

б) , також . Висновок: не є підгрупою;

в) EMBED Equation.3 Але, якщо і , то – не підгрупа.

Приклад 3. Нехай – адитивна абелева група, і – її підгрупи. Нехай . Доведіть, що – підгрупа в . Де в доведенні використовується комутативність групи ?

Доведення. Під час доведення замкненості відносно операції використовується комутативність групи .

Нехай . Покажемо, що . З випливає, що та , де , . Тоді . Тут використо-вується комутативність. Враховуючи, що , а – підгрупа, то , аналогічно , тоді . Властивість асоціативності виконуватиметься, тому що вона виконується для всієї групи. Одиничний елемент (нульовий) існує та належить .

Перевіримо, що обернені (протилежні) елементи належать .

Нехай , де – підгрупи групи , отримуємо, і , тоді та . Переконаємося в цьому. Розглянемо

.

– підгрупа групи .

Приклад 4. Знайти порядок елемента у мультиплікативній групі невироджених матриць 2-го порядку з дійсними коефіцієнтами.

Розв’язок. Нагадаємо, порядком елемента називається найменше додатне число таке, що .

У мультиплікативній групі невироджених матриць одиничним елементом є одинична матриця . Тобто шукатимемо таке число , щоб .

.

. Робимо висновок, що порядок елемента дорівнює 3. Або .

Приклад 5. Визначити порядок елемента 2 у групі .

Розв’язок. Одиничним елементом у групі є .

; ; . Порядок .

Приклад 6. Доведіть, що для будь-яких елементів групи однаковий порядок мають елементи: 1) і ; 2) і ; 3) і .

Розв’язок. 1. Нехай , тобто . Доведемо, що й . Розглянемо . Доведено, що .

2. Нехай , доведемо, що . Представимо . Скористаємося асоціативністю та запишемо, що . Звідси .

3. Нехай , доведемо, що . Розпишемо . Рівність домножимо праворуч на , отримаємо , домножимо , звідки , тоді .

Приклад 7. Доведіть, що якщо у групі порядок кожного неодиничного елемента дорівнює двом, то вона абелева.

Доведення. Нехай . Так як , то , то та з того, що , тобто , випливає, що . , але . Таким чином, , тобто група абелева, якщо порядки неодиничних елементів дорівнюють двом.

4.5 Задачі для самостійного розв’язку

1. Чи будуть числа вигляду підгрупою у Q за додаванням?

2. Доведіть, що дані підмножини комплексних чисел будуть підгрупами у групі G=[C/0,×] за множенням:

а) коло одиничного радіуса: S¹={z Î С\0 | |z|=1};

б) корні m-го степеня з 1: .

3. Чи будуть підгрупами в групі :

а) пряма, що проходить через 0; б) пряма, яка не проходить через 0?

4. Чи будуть підгрупами в такі підмножини:

а) ,

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

5. Нехай – множина всіх невироджених матриць. Розглянемо дані множини:

а) , б) ,

в) .

Довести, що це групи відносно множення матриць. Які з них є підгрупами одна одної?

6. Чи утворять групу відносно множення:

а) невироджені верхнєтрикутні матриці; б) невироджені симетричні матриці?

7. Перевірити, чи утворять групу відносно множення матриці обертань площини:

.

8. Скільки елементів містить напівгрупа, що складається з усіх степенів матриці

?

Чи є ця напівгрупа групою?

9. Чи утворить групу за додаванням множина верхнєтрикутних матриць?

10. Знайти порядок елемента групи

.

11. У мультиплікативній групі невироджених матриць 2-го порядку з комплексними коефіцієнтами знайти порядки елементів: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) .

12. Знайти порядки всіх елементів у групах: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

13. Вказати мінімальну підгрупу, яка містить елемент 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Операцію в групі вибрати довільним чином.

14. У групі вказати мінімальну підгрупу, яка містить множину 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

15. У групі вказати мінімальну підгрупу, яка містить множину 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

16. У групі вказати мінімальну підгрупу, яка містить множину 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

17. Скільки елементів порядку 6 міститься у групі: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) (група парних перестановок з п’яти елементів)?

5 ЦИКЛІЧНІ ГРУПИ

5.1 Мета заняття

Ознайомити студентів з конкретними прикладами циклічних груп і вивчити основні закономірності будови циклічних груп.

5.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи

Студент повинен мати поняття про циклічну групу, її зв'язок з абелевою групою, а також основні теореми про порядок будь-якого елемента та вміти застосовувати теоретичні знання до розв’язання задач [3, c. 143-146].

5.3 Контрольні запитання та завдання

1. Дайте визначення порядку елемента.

2. Який елемент називається утворюючим?

5.4 Приклади розв’язання аудиторних задач

Приклад 1. Перевірити, чи буде адитивна група з операцією додавання за модулем 4 циклічною. У разі позитивної відповіді вкажіть усі утворюючі елементи.

Розв’язок. Група називається циклічною, якщо всі її елементи можуть бути подані, як степені з цілими показниками деякого одного елемента. Цей елемент називається утворюючим.

Група . По черзі підноситимемо всі елементи до степеня.

Елемент 0 у будь-якому степені дає 0, тобто порядок цього елемента 1. . Елемент 0 не є утворюючим елементом.

Елемент 1. , , . Порядок цього елемента 4. . Елемент 1 є утворюючим елементом групи, тому що, підносячи цей елемент до степеня отримуємо всі інші елементи групи.

Елемент 2. . Порядок цього елемента 2. . Елемент 2 не є утворюючим елементом групи, тому що, підносячи цей елемент до степеня, отримуємо тільки елементи 2 та 0.

Елемент 3. , , . Порядок цього елемента 4. . Елемент 3 є утворюючим елементом групи, тому що, підносячи цей елемент до степеня, отримуємо всі інші елементи групи.

Відповідь: група є циклічною, утворюючі елементи: та .

Приклад 2. Знайдіть усі підгрупи адитивної групи з операцією додавання за модулем 4.