ЗАТВЕРДЖЕНО 2 страница

2. Операція асоціативна, тому що .

3. Одиничним елементом є порожня множина .

4. Обернений елемент існує тільки для одиничного елемента .

Приклад 4. На множині визначимо дві алгебраїчні операції:

– залишок від ділення на . Цю операцію назвемо додаванням за модулем і позначатимемо символом ;

– залишок від ділення на . Цю операцію назвемо множенням за модулем і позначатимемо символом .

Охарактеризуйте операції додавання та множення за модулем . Для складіть таблиці Келі.

Розв’язок. 1. Операція додавання за модулем :

– комутативна, оскільки залишок від ділення на дорівнює залишку від ділення на ;

– асоціативна, тому що , де ;

– одиничним елементом є 0, тому що виконуються умови , для ;

– елементом, оберненим до елемента , є елемент , що випливає з виконання умови .

2. Операція множення за модулем :

– комутативна, оскільки залишок від ділення на дорівнює залишку від ділення на ;

– асоціативна, оскільки , де (залишки однакові);

– одиничним елементом є одиниця, тому що виконуються умови , для ;

– для елемента обернений елемент існує тоді й тільки тоді, коли .

Складемо таблиці Келі:

Приклад 5. Охарактеризуйте операцію , задану на множині рівністю .

Розв’язок. Операція комутативна й асоціативна. Знайдемо одиничний елемент . Для та за визначенням . З умови знаходимо . Елемент 1 має обернений йому елемент, який теж дорівнює 1. Інші елементи множини не мають обернених. Рівність не виконується для .

Приклад 6. На множині введена операція рівністю . Охарактеризуйте цю операцію.

Розв’язок. 1. Перевіримо комутативність.

, запишемо , тому – операція комутативна.

2. Перевіримо асоціативність. Розглянемо та Порівнюючи отримані результати, переконуємося, що , отже, операція не асоціативна.

3. Перевіримо наявність одиничного елемента. Використовуючи визначення одиничного елемента для розглянутої операції, одержуємо . Рівність виконується при , тобто .

4. Для , буде оберненим до елементом, якщо . Рівність виконується, якщо оберненим елементом до є він сам.

Приклад 7. На множині задана алгебраїчна операція рівністю . Охарактеризуйте цю операцію.

Розв’язок. 1. Операція комутативна, тому що .

2. Перевіримо асоціативність, ,

а – операція не асоціативна.

3. Рівність не виконується, отже, немає одиничного елемента.

4. Оскільки в множині немає одиничного елемента відносно розглянутої операції, то задача про існування обернених елементів не розглядається.

2.5 Задачі для самостійного розв’язання

1. Охарактеризуйте кожну із заданих операцій, тобто з'ясуєте, чи є операція комутативною, асоціативною, чи існує одиничний відносно неї елемент , для яких елементів існують обернені елементи.

На множині задані алгебраїчні операції рівностями:

а) , (найменше спільне кратне);

б) , , в) , ;

г) , ; д) , ;

е) , ; ж) , .

2. Нехай , – булеан, – множина усіх підмножин
множини , і на множині задані алгебраїчні операції рівностями:

1) ;

2)

Охарактеризуйте кожну із заданих операцій.

3. Наведіть приклад алгебраїчної операції на множині, відносно якої для певного елемента існують обернені елементи: 1) ; 2) .

3 ОСНОВНІ ВЛАСТИВОСТІ ГРУП

3.1 Мета заняття

Ознайомити студентів з основними поняттями напівгруп і груп; з’ясувати деякі властивості напівгруп і груп загального характеру.

3.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи

Студент повинен знати: поняття напівгрупи, моноїда, групи, абелевої групи, їхні властивості; вміти розв’язувати задачі за даною темою [3, c. 133-140].

3.3 Контрольні запитання

1. Яка алгебраїчна структура називається напівгрупою, моноїдом, групою?

2. Яка група називається абелевою?

3.4 Приклади розв’язання аудиторних задач

Приклад 1. З'ясуйте, чи утворюють групу кожні із множин відносно названої операції та вкажіть, які із груп абелеві. Множина:

1) цілих чисел відносно: а) додавання, б) множення, в) віднімання;

2) непарних чисел відносно додавання;

3) вільних векторів площини відносно додавання векторів;

4) невироджених матриць порядку з дійсними елементами відносно: а) множення, б) додавання.

Розв’язок. Згадаємо основні властивості алгебраїчних структур з однією бінарною операцією:

1) замкненість ;

2) асоціативність ;

3) наявність одиничного елемента ;

4) наявність оберненого елемента .

5) комутативність .

Залежно від кількості виконання властивостей, алгебраїчні структури поділяються на:

· групоїд (виконується тільки властивість 1);

· напівгрупи (виконуються тільки властивості 1-2);

· моноїди (виконуються тільки властивості 1-3);

· групи (виконуються тільки властивості 1-4);

· абелеві групи (виконуються всі властивості 1-5).

Повернемося до приклада.

1) а) перевіряємо виконання аксіом групи:

Замкненість. Для , отже, множина замкнена відносно операції додавання.

Асоціативність виконується.

Наявність одиничного елемента. . Для операції додавання одиничний елемент – це число 0, тому що . (Одиничний за додаванням елемент називають ще нульовим).

Всі елементи множини мають обернені (протилежні для операції додавання) елементи , .

Операція додавання комутативна на .

Висновок: – абелева група.

б) Розглянемо структуру . Перевіримо виконання аксіом групи: замкненість, асоціативність, комутативність – виконуються. Одиничним для множення елементом є число 1. Для цілого числа немає елемента, що належить , щоб виконувалася умова . Лише числа 1 та –1 мають обернені (зворотні для множення) елементи. і , тобто й .

Висновок: – комутативний моноїд.

в) –групоїд (не виконується асоціативність).

2) . Сума двох непарних чисел є парним числом, тобто сума не належить множині . Розглянута структура не утворює групу.

3) Використовуючи визначення суми двох векторів, переконаємося, що всі аксіоми групи для множини вільних векторів площини виконуються. Нульовий вектор є одиничним елементом. Вектором, протилежним до вектора , є вектор , що лежить на одній прямій з вектором і протилежно йому направлений. Виконується комутативність – Множина векторів є абелевою групою.

4) а) Розглянемо множину невироджених матриць порядку з операцією додавання . Структура не є групою, хоча операція додавання матриць має властивості комутативності, асоціативності, нульова матриця є одиничним елементом, але вона не належить множині . Якщо , то (не виконується замкненість).

б) Структура є групою. Перевіримо виконання аксіом:

4.1. Нехай та . Існує та , тоді . Операція замкнена.

4.2. Для добутку матриць виконується асоціативність, тобто .

4.3. Матриця буде одиничним елементом за множенням, тому що .

4.4. Оскільки , то існує , причому , отже, .

У загальному випадку , тому група неабелева.

Приклад 2. Нехай елементи , мають обернені. Довести, що елементи та також мають обернені та .

Розв’язок. Доведення проводимо шляхом прямого обчислення. Маємо
. Аналогічно

Приклад 3. Довести закон скорочення у моноїді: якщо елемент а має оберненний, то з .

Розв’язок. Помножимо рівність на обернений елемент ліворуч. Тоді одержимо . Операція у моноїді асоціативна та , тоді одержуємо .

Приклад 4. Довести, що одиничний елемент у моноїді єдиний.

Розв’язок. Нехай є два одиничних елементи . Тоді , тому що – одиничний елемент. З іншого боку, , тому що – одиничний елемент. Отже, .

3.5 Задачі для самостійного розв’язання

1. З'ясуйте, чи утворює групу кожна із множин відносно названої операції, і вкажіть, які із груп абелеві. Множина:

1) , де –- одна з множин ;

2) , де – одна з множин ;

3) , де – одна з множин ;

4) цілих чисел кратних відносно додавання ();

5) степенів даного дійсного числа з цілими показниками відносно множення;

6) коренів -го степеня з одиниці (як дійсних, так і комплексних) відносно множення;

7) комплексних чисел з фіксованим модулем відносно множення;

8) ненульових комплексних чисел, розташованих на променях, які виходять з початку координат і утворюють з променем кути , відносно множення;

9) ненульових комплексних чисел з модулем, який не перевищує фіксоване число , відносно множення;

10) матриць порядку із цілими (раціональними, дійсними, комплексними) елементами відносно: а) додавання, б) множення;

11) невироджених матриць порядку з раціональними (дійсними, комплексними) елементами відносно: а) множення, б) додавання;

12) матриць порядку із цілими (раціональними, дійсними, комплексними) елементами та визначником, рівним відносно множення: