Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
, (1)
складається з двох етапів: відокремлення коренів, тобто встановлення проміжків , , в кожному з яких міститься тільки один корінь; уточнення коренів, тобто їх обчислення з наперед заданою точністю . Для відокремлення коренів використовуються аналітичні або графічні методи. Для уточнення коренів використовуються ітераційні методи. Розглянемо деякі методи уточнення коренів.
1. Метод поділу проміжку навпіл. Якщо функція неперервна і набуває на кінцях проміжку значень різних знаків, тобто , то корінь рівняння (1) можна обчислити з наперед заданою точністю . Побудуємо обчислювальний процес. Обчислимо середину проміжку . Оскільки , то буде: , або , або . Якщо , то знайдено точне значення кореня і процес завершується. При корінь міститься на проміжку . Покладемо . При корінь міститься на проміжку .і Покладемо . Якщо довжина проміжку більша за , то знову обчислюється середина проміжку і т. д. Якщо довжина проміжку менша за , то процес обчислень завершується, а вважається наближенням кореня з точністю .
2. Метод ітерацій. Нехай на проміжку рівняння (1), де неперервна на функція, має єдиний корінь . Замінимо рівняння (1) еквівалентним йому рівнянням так, щоб , , а всі значення належали проміжку при .
Починаючи з деякого початкового наближення , знаходимо послідовні наближення за формулою
, . (2)
Обчислення завершуються при виконані умови
, (3)
при цьому вважається наближеним значенням кореня з заданою точністю .
Рівняння (1) завжди можна подати у вигляді так, щоб справджувалися вище наведені умови, наприклад,
, (4)
де – стала. При рівняння (4) і (1) еквівалентні. Сталу добирають так, щоб в околі кореня було тобто, щоб задовольнялися умови . Отже стала повинна мати той самий знак, що й , і задовольняти умову . Процес збігається тим швидше, чим ближче до нуля. Отже, слід добирати так, щоб добуток був якомога ближчим до для всіх .
3. Метод хорд (січних). Якщо функція двічі неперервно диференційовна на проміжку , похідні відмінні від нуля і зберігають знак на цьому проміжку, а , то за методом хорд наближене значення кореня знаходять як абсцису точки перетину хорди, що проходить через точки , з віссю .
Послідовні наближення кореня знаходять за формулою
, , (5)
де якщо , або якщо . Обчислення завершуються при виконанні умови
, (6)
де – задана точність, , При цьому вважається наближеним значенням кореня з заданою точністю .
4. Метод дотичних (Ньютона). Якщо функція задовольняє ті ж умови, що й у методі хорд, то за методом дотичних наближене значення кореня знаходять як абсцису точки перетину дотичної до кривої в одній із точок чи з віссю .
Послідовні наближення кореня знаходять за формулою
, , (7)
де якщо , або якщо . Обчислення завершуються при виконані умови
, (8)
де – задана точність, , , при цьому вважається наближеним значенням кореня з заданою точністю .
5. Комбінований метод. Якщо функція задовольняє ті ж умови, що й у методі хорд, і в методі дотичних, то для уточнення кореня зручно комбінувати метод хорд і метод дотичних. При цьому одержуються оцінки кореня зверху і знизу.
Послідовні наближення кореня знаходять за формулами
, (9)
, , (10)
де якщо , або якщо .
Обчислення завершуються при виконанні умови
, (11)
де – задана точність, при цьому вважається наближеним значенням кореня з заданою точністю .
Завдання:
Розробити програму обчислення таблиці значень інтеграла з заданою точністю для , що змінюється на інтервалі з кроком . Для обчислення значення інтеграла використати одну із формул наближеного інтегрування для завдань: 1-4 – прямокутників; 5-9 – трапецій; 10-14 – Сімпсона. У програмі використати підпрограму обчислення інтеграла за вказаною формулою, в яку передати підінтегральну функцію як параметр. Результати обчислень надрукувати у вигляді таблиці, в кожному рядку якої розмістити значення і відповідне йому значення інтеграла.
1. , , , .
2. , , , .
3. , , , .
4. , , , .
5. , , , .
6. , , , .
7. , , , .
8. , , , .
9. , , , .
10. , , , .
11. , , , .
12. , , , .
13. , , , .
14. , , , .
Розробити програму уточнення коренів рівняння на відрізку з різною точністю . Для уточнення коренів рівняння використати один із ітераційних методів для завдань: 15-18 – поділу відрізка навпіл; 19-21 – ітерацій; 22-24 – хорд; 25-27 – дотичних; 28-30 – комбінований. У програмі використати підпрограму уточнення коренів рівняння за вказаним методом, в яку передати як параметр функцію обчислення . Результати обчислень надрукувати у вигляді таблиці, в кожному рядку якої розмістити значення і відповідне йому значення кореня.
, .
16. , .
17. , .
18. , .
19. .
20. , .
21. , .
22. , .
23. , .
24. , .
25. , .
26. , .
27. , .
28. , .
29. , .
30. , .
Дата публикования: 2015-04-06; Прочитано: 492 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!