Алгебра і теорія чисел

1. Бінарні відношення. Рефлексивні, симетричні, транзитивні бінарні відношення. Відношення еквівалентності і розбиття на класи. Фактор-множина.

2. Натуральні числа /аксіоми Пеано/. Принцип математичної індукції, різні форми індукції.

3. Групи, приклади груп. Основні властивості груп.

4. Підгрупи, означення та критерій. Гомоморфізм та ізоморфізм груп, властивості.

5. Кільце, підкільце. Приклади кілець. Найпростіші властивості кілець. Ізоморфізм та гомоморфізм кілець.

6. Поле. Підполе. Приклади. Основні властивості полів. Поле дійсних чисел.

7. Поле комплексних чисел. Алгебраїчна, тригонометрична форма.

8. Системи лінійних рівнянь. Основні означення. Розв'язування систем лінійних рівнянь методом послідовного виключення змінних.

9. Арифметичний n-вимірний векторний простір. Лінійна залежність і лінійна незалежність системи векторів. Ранг ібазис скінченної системи векторів.

10. Критерії сумісності системи лінійних рівнянь. Теорема про існування ненульового розв'язку лінійної однорідної системи рівнянь, яка містить n рівнянь і n+1 змінну.

11. Означення та основні властивості визначників. Необхідна і достатня умови рівності визначника нулеві.

12. Знаходження оберненої матриці за допомогою елементарних перетворень та за допомогою алгебраїчних доповнень. Розв'язування матричним способом системи лінійних рівнянь.

13. Теорема Крамера.

14. Фундаментальна система розв'язків системи лінійних однорідних рівнянь. Теорема про існування фундаментальної системи розв'язків.

15. Означення та приклади векторного простору. Підпростори. Основні властивості векторного простору.

16. Базис і розмірність скінченновимірного векторного простору. Ізоморфізм векторних просторів.

17. Лінійні оператори. Власні значення та власні вектори лінійного оператора.

18. Теорема про зв'язок характеристичних коренів та власних значень лінійного оператора. Зведення матриці до діагонального виду.

19. Теорема про ділення з остачею в кільці цілих чисел. НСД і НСК двох чисел і зв'язок між ними. Алгоритм Евкліда.

20. Прості числа. Нескінченність множини простих чисел. Основна теорема арифметики. Застосування канонічного розкладу чисел до знаходження НСД і НСК.

21. Порівняння, їх основні властивості. Повна та зведена система лишків. Теореми Ейлера та Ферма.

22. Лінійні порівняння з однією змінною, теорема про число розв'язків. Методи розв'язування лінійних порівнянь.

23. Застосування теорії порівнянь до виведення ознак подільності.

24. Перетворення звичайного дробу в десятковий та визначення довжини періоду десяткового дробу.

25. Многочлени над полем. Теорема про ділення з остачею. НСД двох многочленів і алгоритм Евкліда.

26. Факторіальні кільця. Факторіальність кільця многочленів над полем.

27. Алгебраїчна замкненість поля комплексних чисел. Канонічний розклад многочлена над полем комплексних чисел та його єдиність.

28. Многочлени з дійсними коефіцієнтами. Спряженість уявних коренів таких многочленів. Незвідні над полем дійсних чисел многочлени та канонічний розклад многочленів над полем дійсних чисел.

29. Многочлени над полем раціональних чисел. Цілі і раціональні корені многочлена з цілими коефіцієнтами. Незвідні над полем раціональних чисел многочлени.

30. Будова простого розширення числового поля. Звільнення від ірраціональності в знаменнику дробу.