Интервальные оценки математического ожидания и дисперсии

Доверительный интервал характеризует точность, а доверительная вероятность характеризует надежность. Понятия доверительный интервал (точность) и доверительная вероятность (надежность) связаны взаимообратной зависимостью. То есть небольшому доверительному интервалу отвечает малая надежность, а малой точности, то есть большому доверительному интервалу отвечает большая надежность.

Доверительный интервал разброса среднего результата чаще всего представляет собой симметричный отрезок (от -s до +s). Поэтому вероятность попадания точечной оценки математического ожидания в указанный интервал для случайной величины, распределенной нормально, определяется с помощью функции Лапласа.

Рис.1.2. Иллюстрация понятия доверительный интервал разброса среднего результата нормально распределенной случайной величины: 1 – кривая разброса самой случайной величины; 2 – кривая разброса среднего результата.

Для оценки математического ожидания a случайной величины х, распределенной по нормальному закону, при известной дисперсии D_х = s² в случае повторного отбора служит доверительный интервал:

,
где - выборочное среднее; - точность оценки; n – объем выборки; l_a - такое значение аргумента функции Лапласа Ф(х), при котором 2Ф(-l_a) = a

Если дисперсия D_х неизвестна, то для оценки М_х = a служит доверительный интервал

,
где - оценка среднего квадратичного отклонения s величины х, а t_a находят по таблице критических точек распределения Стьюдента по заданному числу степеней свободы n = n – 1 и уровню значимости 1 - a.

В случае бесповторного отбора точность оценки находят соответственно по формулам:

при известной дисперсии:

где N – объем генеральной совокупности

при неизвестной дисперсии:

Интервальной оценкой для среднеквадратичного отклонения s₀ нормально распределенного количественного признака Х служит доверительный интервал

(S - D_s, S + D_s) - при D_s £ S или интервал

(0, S + D_s) - при D_s > S

определяемый из условия P(| s₀ – S |<D_s) = a,

где D_s – предельная ошибка выборки для среднеквадратичного отклонения, которую вычисляют по формуле:

D_s = q(a, n)^. S

где q(a, n) – находят по таблице по доверительной вероятности a и объему выборки n.

Доверительную вероятность иногда называют коэффициентом доверия. При решении задач, связанных с исследованием функционирования автотранспортных средств и систем коэффициент доверия обычно принимают равным 0,95 и, значит, связанный в ним уровень значимости a принимают равным 0,05.