Устойчивость нелинейных систем

Лекция 12. Анализ устойчивости по второму методу Ляпунова

План лекции

1. Понятие об устойчивости нелинейных систем

2. Уравнения возмущенного движения

3. Понятие невозмущенного движения системы

4. Функции Ляпунова

Содержание лекции

Одной из основных задач теории автоматического регулирования является изучение динамических процессов, происходящих в САУ при нарушении её равновесия каким-либо воздействием. Это может быть управляющее воздействие, изменение нагрузки или различные виды помех. САУ должна поддерживать заданный режим работы, быть малочувствительной к посторонним возмущениям. Иными словами, САУ должна быть работоспособной, несмотря на действие на неё различных возмущений или быть устойчиво.

Под устойчивостью понимается свойство системы возвращаться к состоянию установившегося равновесия после устранения всех возмущений. Устойчивость нелинейных систем зависит от величины возмущающего воздействия. Например, при малом (бесконечно малом) значении возмущающего воздействия система может быть устойчива, или устойчива «в малом». При большом (конечным по величине) значении возмущающего воздействия система может быть неустойчива, или неустойчива «в большом». Но может быть и наоборот: неустойчива «в малом» и устойчива «в большом».

Если динамика линейной системы описывается дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, то её устойчивость «в малом» обеспечивает неограниченную устойчивость «в большом» благодаря принципу суперпозиции. При этом считается, что она устойчива «в общем». Её устойчивость можно определить по первой теореме (по первому методу) А.М. Ляпунова. Линейная система устойчива, если все вещественные корни характеристического уравнения отрицательные.

Определение устойчивости нелинейной системы связано с преодолением значительной трудности. Это связано со следующим:

- устойчивость «в малом» и устойчивость «в большом» требует отдельного определения;

- установившейся режим работы системы может быть в виде устойчивого равновесия, а так же в виде автоколебаний;

- в зависимости от вида нелинейности система может быть устойчива при одних начальных условиях и неустойчива при других или при других воздействиях.

В отдельных случаях, если можно линеаризировать нелинейное дифференциальное уравнение, то устойчивость такой системы можно определить по критериям устойчивости линейной системы (критерий Рауса, Гурвица, Михайлова). Но это только для определенного, достаточно малого отклонения регулируемой величины относительно исходного режима.

Наиболее общие результаты по исследованию устойчивости нелинейных систем могут быть получены по второму (прямому) методу Ляпунова. Этот метод основан на простой идеи, известной из механики: в положении равновесия система имеет минимум потенциальной энергии. Абсолютный минимум можно считать равным нулю. Тогда, если движение системы стремиться к нулю – она устойчивая. Если движение системы происходит с увеличением потенциальной энергии – она неустойчивая.

Пусть математическая модель нелинейной системы представлена в виде системы дифференциальных уравнений

.

Так как x₁, x₂,…, x_n – величины, определяющие состояние системы и независящие явно от времени t, на систему не действуют никакие внешние возмущения, а все действующие силы являются внутренними и зависят от состояния системы.

Решение дифференциальных уравнений, описывающих движение такой системы при заданных начальных условиях x0, по Ляпунову называют невозмущенным движением φ(x0,t). Его выбор произволен. В частности, если начальные условия соответствуют равновесию системы, то оно тоже будет считаться невозмущенным движением. При изменении начальных условий на Δx, получим другое решение дифференциальных уφравнений φi(x0+Δx, t), которое называется возмущенным движением. Разность между возмущенным и не возмущенным движением Δφ(t) называется вариацией движения и определяется Δφ(t) = φ_i(x₀+Δx,t) – φ₀(x₀,t).

Согласно второму методу устойчивости Ляпунова невозмущенное движение называется устойчивым, если для любого ε > 0 найдется такое δ(ε), что из ||Δx|| < δ(ε) для всех t < T следует ||Δφ(t)|| < ε.

Пояснение к этому определению.

δ(ε) – допустимое отклонение параметра системы;

Δх – действительное отклонение параметра системы;

ε – допустимое отклонение возмущенного движения по отношению к невозмущенному при которой система считается устойчивой;

Δφ(t) – действительное отклонение возмущенного движения по отношению к невозмущенному или вариация отклонения;

T – конечное время, в течение которого определяется выполнение условие || Δφ(t)|| < ε. Фактически это означает что время t – ограничено;

||•|| - означает норму вектора.

Пусть невозмущенное движение системы φ (x0,t) характеризуется траекторией 1, которая выделена жирной линией (рис. 4.1). Возможны три варианта движения системы при изменении x0 на x0 + Δ x.

Первый вариант. Возмущенное движение φ (x0+Δx,t) (траектория 2) с течением времени неограниченно приближается к невозмущенному и отклонение Δφ(t) → 0. Система имеет асимптотическую устойчивость.

Второй вариант. Возмущенное движение (траектория 3) с течением времени не выходит за данные пределы ε. Система устойчива. Допустимые приделы вариации отклонения возмущенного при котором системы считается устойчивой движения заштрихованы. Верхний предел показан штриховой линей 4.

Третий вариант. Возмущенное движение (траектория 5) с течением вре-

мени выходит за пределы ε. Система неустойчивая.

Рис.4.1. К определению устойчивости по второму методу Ляпунова

Покажем отклонения возмущенного движения от невозмущенного на фазовой плоскости, где по оси абсцисс Δφ (t) – вариации отклонения от заданного движения. По оси ординат производная по этому отклонению Δφ’(t) (рис. 4.2). На этой же плоскости покажем значения Δх – отклонение системы от заданного установившегося значения при t = 0. Это отклонение в пределах δ1(ε) и её производной δ2(ε). На фазовой плоскости показаны области в которых может находится система при изменении x0 на x0+Δx, в виде трёх окружностей. Окружность радиуса r → 0 - соответствует области асимптотической устойчивости, где отклонение движения Δφ(t) → 0. Окружность радиуса R- соответствует области устойчивости с допустимым отклонением ||Δφ(t)|| < ε. Окружность радиуса ρ- соответствует недопустимому увеличению отклонения движения, когда это отклонение ||Δφ(t)|| > ε. Система при таком отклонение становится неустойчивой.

Пусть даны три системы с отклонением параметров при t = 0 в пределах заданной области ||Δх|| < δ(ε). Траектория отклонения возмущенного движения от невозмущенного или движение системы 2 соответствует асимптотически устойчивой системе. За конечное время t < T фазовая траектория попадает в область, ограниченную радиусом r → 0. Движение системы 3 соответствует области устойчивости потому, что фазовая траектория в пределах допустимого отклонения || Δφ(t)|| < ε (окружность с радиусом R). Движения системы 5 соответствует области неустойчивого движения. За конечное время эта система достигает сферы ρ,|| Δφ(t)|| > ε. и даже может выйти за ее пределы. Обозначение траекторий движения системы на рис. 4.1 и на рис. 4.2 одинаковые.

Рис.4.2. Отклонения различных движений на фазовой плоскости

Если известны уравнения, описывающие движение автономной системы (смотри уравнение 4.1), то как определить по траектории возмущенного движения будет ли данная нелинейная система устойчивая? Для этого на фазовой плоскости нанесены линии равного уровня состояния возмущенного движения. На рис. 4.2 они условно показаны пунктирными окружностями. Значение этих функций можно интерпретировать как некоторое обобщенное расстояние между различным состоянием системы. Если фазовая траектория возмущенного движении последовательно проходит эти функции так, что каждая следующая функция с меньшим радиусом (с меньшей потенциальной энергией), то такая фазовая траектория движения возмущенной системы постепенно приближается к окружности радиуса r, которая соответствует нулевой потенциальной энергией или асимптотической устойчивости системы. Если фазовая траектория проходит эти функции так, что каждая следующая функция с большим радиусом, с большей потенциальной энергией, то такая траектория движения системы уходит от центра с радиусом r, где потенциальная энергия нулевая. В такой траектории каждое новое состояние приводит к увеличению потенциальной энергии; система движется к сфере радиуса ρ, к недопустимой величине отклонения возмущенного движения относительно невозмущенного. Эти линии равного состояния системы называются функциями Ляпунова. С их помощью определяется устойчивость системы.

Контрольные вопросы для самоподготовки

1. Что такое устойчивость системы управления?

2. Как определяется устойчивость по первому методу Ляпунова?

3. Как определяется устойчивость по второму методу Ляпунова?

4. Обоснование устойчивости по второму методу Ляпунова?

5. Чем отличается определение устойчивости по первому и по второму методу Ляпунова?

6. Как определяется невозмущенное движение системы?

7. Есть ли ограничение на вид невозмущенного движения системы?

8. Можно ли принять в качестве невозмущенного движения установившееся состояние системы?

9. Как определяется возмущенное движение системы?

10. Как определяется вариация движения системы?

11. Понятие устойчивости движения по второму методу Ляпунову?

12. Понятие асимптотически устойчивой системы по Ляпунову?