Диференціал функції

Розглянемо приріст функції у довільній точці х:

∆y =(x + ∆x)² – x² = 2x∆x + (∆x)² (1)

Множником при ∆x, як бачимо, є похідна від даної функції, тобто

y′ = 2x (2)

Враховуючи рівність (2), рівність (1) перепишемо так:

∆y = y′ ∆x + (∆x)² (3)

Прослідкуємо за зміною величини обох доданків у правій частині рів­ності (3) при зменшенні ∆x

Покладемо, наприклад, x= 2. Тоді y′ = 4. Складемо таку таблицю

значень цих доданків:

Розглянувши таблицю, бачимо, що доданки y′ ∆x і (∆x)² зменшуються,

із зменшенням ∆x, причому перший доданок змінюється пропорційно Δх, другий - значно швидше. Зокрема, при ∆x =0,01 приріст функції ∆y = 0,004 + 0,000001 = 0,004001

Як бачимо, основна частка приросту припадає на перший доданок.

Означення: Диференціалом функції називають добуток її похідної на приріст аргументу.

Нехай маємо функцію y = f (x). Її диференціал позначають через dy

(або df(x)). За означенням

dy = f ′(x) ∆x. (4)

Диференціал функції подають у такому вигляді:

dy = f '(x)dx (5)

Щоб знайти диференціал функції необхідно:

1. знайти похідну функції;

2. помножити її на диференціал аргументу.

З формули (5) випливає ще одне означення похідної:

f '(x) =

Отже, похідну можна розуміти як відношення диференціала функції до диференціала аргументу.

Зазначимо,що диференціал має дві властивості.

1. Диференціал функції—це головна частина приросту функції.

2. Диференціал у розглядуваній точці х₀ є лінійною функцією від Δх.

Приклад. Знайти диференціал функції y = 5 lnx⁴.

dy = f '(x)dx

Знайдемо похідну: y '= (5 lnx⁴)' = 5 (lnx⁴)' = 5· · (x⁴)' = 5 · =

dy = dx.

Відповідь: dy = dx.