Линейные алгебраические уравнения

С системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) обучающийся должен быть знаком по средней школе. В самом общем виде СЛАУ состоит из алгебраических уравнений относительно неизвестных ( и - целые положительные числа) и может быть записана следующим образом:

Здесь индекс обозначает текущие номера в системе уравнений, а - текущие номера неизвестных. Буквами обозначены коэффициенты при неизвестных, буквами - правые части уравнений. И те, и другие являются вещественными числами, постоянными для данной системы и не зависящими ни от каких неизвестных.

Часто используют более экономичную запись СЛАУ, содержащую только коэффициенты и правые части . Образующиеся таким путем прямоугольные таблицы получили наименование матрицы. Матрица – это упорядоченный набор чисел, каждое из которых имеет свой четкий адрес в виде номера строки и столбца, на которых оно расположено. Матрицы как единое целое принято обозначать заглавными буквами: и т.д. Иногда для конкретности под ними в скобках указывают размерности матриц (число строк и столбцов): и т.д.

Чтобы подчеркнуть, что прямоугольные числовые таблицы рассматриваются именно как матрицы, их обычно заключают в дугообразные скобки. Таким образом, матрица

в СЛАУ получила название матрицы коэффициентов при неизвестных.

Матрицы вида принято называть вектор-столбцами, матрицы вида - вектор строками.

В СЛАУ вектор – столбец

называют вектором правых частей СЛАУ, а вектор-столбец

вектором и

скомых неизвестных.

Матрицы размерности называются квадратными матрицами. Квадратная матрица у которой все главные диагональные элементы равны единице, а все остальные – нулю, получила название единичной матрицы. Она обозначается .

Например, , и т.д.

Подобно тому, как в строительном деле в качестве структурных единиц могут рассматриваться не только отдельные кирпичики, но и некоторые элементарные конструкции – так называемые блоки, так и в математике матрицы часто выступают в качестве самостоятельных объектов – своеобразных «блоков чисел». Для таких «блоков», подобно числам, определены некоторые основные операции по их преобразованию. В чем-то операции над матрицами напоминают операции над числами, но в чем-то и отличаются.

Основные операции над матрицами

1. Сравнение

Оно применимо только для матриц одинаковой размерности. Для таковых матриц сравнение осуществляется поэлементно. Возьмем три матрицы:

, и .

Здесь матрицы и сравнимы, т.к. обе имеют размерность , но они не равны друг другу, ибо различаются элементы и .

В то же время у матрицы все элементы совпадают с соответствующими элементами матрицы , но сами эти матрицы несравнимы из-за несовпадения размерностей.

2. Сложение

Операция сложения матриц применима только к матрицам одинаковой размерности и осуществляется поэлементно.

Пусть и .

Тогда .

2. Умножение на число

Такая операция применима к любой матрице.

Пусть, например, , а .

Тогда .

Отметим, что операция умножения матрицы на скаляр часто используется в компьютерных преобразованиях для «очистки» матрицы А от какой-либо запасенной в ней информации, ставшей уже ненужной.

Пусть и .

Имеем .

Операция умножения на скаляр используется также для согласованного изменения масштабов числовой информации, содержащейся в матрице (из соображений удобства).

4. Транспонирование матрицы

Это есть специфически матричная операция, в соответствии с которой строки и столбцы у матрицы меняются местами - матрица как бы «кладется набок». Для исходной матрицы траспонированная матрица обозначается . При этом .

Пример: ; .

5. Умножение матриц

Матричное умножение не имеет аналогов среди операций над числами. Начнем с того, что оно применимо не к любым парам матриц, а только к так называемым «сцепленным» матрицам. «Сцепленными» называют две матрицы, у которых число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Так, матрицы и являются сцепленными, в то время, как они же, рассматриваемые в обратной последовательности, и , сцепленными уже не являются. Для двух сцепленных матриц их произведение – матрица - рассчитывается по следующему правилу:

( -я строка матрицы умножается на -й столбец матрицы ).

Пример:

; ;

Применение операции матричного умножения часто бывает удобным для записи СЛАУ в компактном виде:

.

Квадратные матрицы одной размерности сцеплены всегда, но из этого, конечно, отнюдь не следует, что .

Пример:

, ;

, но , что, очевидно, не одно и то же.

Особую роль в матричном умножении играют единичные матрицы.

Рассмотрим два примера:

Пусть , а ,

тогда

;

На этом основании единичную матрицу часто называют еще «матричной единицей» (по аналогии с числовой единицей: ).

6. Обращение матрицы

Продолжая аналогию с числами, необходимо использовать еще одно обстоятельство, связанное со свойствами единичных матриц. Обратимся сначала к числовым аналогиям. Два числа и называются взаимно обратными, если их произведение равно единице: , откуда и .

Возвращаясь от чисел к матрицам, попробуем поступить по аналогии и попытаться определить для матрицы обратную ей матрицу таким образом, чтобы их взаимное произведение равнялось единичной матрице:

.

Оказывается, такая операция является возможной, но далеко не всегда. Во-первых, обратная матрица существует только у квадратных матриц . Кроме того, даже и не всякая квадратная матрица имеет свою обратную.

Вспомним числовую аналогию: если одно из чисел ( или ) равно нулю, то такое число обратных себе не имеет. Аналогично и с матрицами. Квадратная матрица имеет себе обратную только в тех случаях, когда она является невырожденной.

Ограниченный объем ускоренного курса математики не дает возможности подробно остановиться на анализе случаев вырождения квадратных матриц, но помнить об этом всегда необходимо. К счастью, подавляющее большинство матриц, возникающих в прикладных экономических задачах, являются невырожденными. При обнаружении же случаев вырождения, что проявит себя при преобразованиях, связанных с обращением матриц, обучающиеся должны обратиться за консультацией к преподавателю.

Применение обратных матриц бывает полезным при решении многих прикладных задач по преобразованию числовой информации.

Так, например, просто и компактно может быть записано через обратную матрицу решение СЛАУ :

.

Теперь достаточно лишь найти обратную матрицу, а затем умножить ее на вектор правых частей СЛАУ. Мы тогда сразу получим искомый вектор неизвестных. Именно поэтому операция нахождения обратной матрицы составляет важный этап математического обучения.

Однако предварительно следует вернуться к рассмотрению СЛАУ.

Наиболее эффективным и перспективным способом решения СЛАУ является использование преобразований Жордана-Гаусса. Их главная суть состоит в том, что последовательно рассматриваются пары уравнений – так называемое ведущее и в дополнение к нему - все остальные. Для каждой такой пары подбираются подходящие числовые множители, на которые они умножаются, а затем ведущее вычитается из другого уравнения в паре. В результате структура системы упрощается до такой степени, что позволяет просто «прочитать» решение системы. Продемонстрируем это на простейшем примере СЛАУ вида :

Выберем в качестве ведущего первое уравнение. Сначала рассмотрим его в паре со вторым уравнением. Умножим ведущее на 2, а второе на единицу (оставим без изменения). Получим:

Вычтем теперь первое уравнение из второго, а результат запишем в СЛАУ на второй строке. Первое же уравнение оставим в прежнем виде:

Эту же процедуру мы проделаем с парой из первого и третьего уравнений, Теперь уже первое уравнение необходимо умножать на 3, а третье на единицу. Проведя умножение и вычитание, получим

В итоге неизвестная «выпала» из всех уравнений, кроме ведущего. Элемент, соответствующий остающемуся ненулевым неизвестному , принято называть ведущим элементом. Для того, чтобы обеспечить его равенство единице (в нашем случае это уже было обеспечено исходной записью СЛАУ), все элементы ведущего уравнения делятся на коэффициент при ведущем неизвестном.

Все то, что было только что проделано, принято называть итерацией СЛАУ по выбранному ведущему элементу. В данном случае в качестве ведущего выбран элемент , где .

Для экономичной записи преобразований процедура итерации записывается схематически в виде трех формул из коэффициентов при неизвестных. Обозначим текущим номером уравнение, выбранное в качестве ведущего, а номером - то уравнение, которое в данный момент преобразуется. Элемент, выбранный в качестве ведущего, обозначим , а очередной преобразуемый элемент в преобразуемом уравнении - . Подчеркнем, что для выбираемого ведущего элемента обязательным условием является его отличие от нуля: .

Новое значение элемента после преобразования обозначим штрихом . Если и , то в расчете используются также элементы и . Их принято называть сопутствующими элементами. С учетом этого формулы по преобразованию матрицы коэффициентов СЛАУ (включая и правые части) имеют вид

.

При этом . Преобразуемая СЛАУ записывается в виде матрицы из коэффициентов при неизвестных, с добавлением правых частей (так называемая расширенная матрица коэффициентов СЛАУ):

				(3+1)
	-1
		-1

Последний столбец, содержащий информацию о правых частях СЛАУ, чтобы его не путать с неизвестными, отделен чертой и отмечен символическим номером .

Элемент, выбираемый в качестве ведущего, отмечается скобками. Расчеты, входящие в состав итерации, выполняются на черновиках, а их результаты заносятся в новую преобразованную матрицу. Таким образом, только что выполненная итерация будет записана следующим образом:

				(3+1)						(3+1)
(1)
	-1						-3	(-2)		-12
		-1					-1	-4		-14

Подобная процедура может быть продолжена. Спускаемся на вторую строку и из двух остающихся ненулевыми коэффициентов выбираем, например, . Затем по этой же схеме последовательно переходим на третью строку:

(3+1)

(3+1)

-1/2

3/2

(5)

Теперь мысленно вернемся к обычной записи СЛАУ, т.е. вместе с обозначениями неизвестных:

Но это же и есть решение СЛАУ! Таким образом, получение в матрице при неизвестных столбцов, содержащих только по одной единице в разных строках, причем все остальные элементы – нули, означает завершение процесса решения СЛАУ.

В этом случае решение СЛАУ по матрице коэффициентов можно будет просто «прочитать».

В математической экономике СЛАУ играют весьма существенную роль.

Пример 1. Цех выпускает трансформаторы четырех видов. На один трансформатор первого вида расходуется 5 кг трансформаторного железа, 3 кг проволоки, 1 кг пластмассы и 2 кг изоляционных материалов. На трансформатор второго вида - 3 кг железа, 2 кг проволоки, 2 кг пластмассы и 1 кг изоляционных материалов. На трансформатор третьего вида - 4 кг железа, 2 кг проволоки, 1 кг пластмассы и 2 кг изоляционных материалов. На трансформатор четвертого вида - 2 кг железа, 3 кг проволоки, 2 кг пластмассы и 1 кг изоляционных материалов. Известно, что потрачено 300 кг железа, 250 - проволоки, 170 - пластмассы и 130 - изоляционных материалов. Определить количество изготовленных трансформаторов каждого вида.

Через обозначим количество изготовленных трансформаторов первого вида, а через , , - количество изготовленных трансформаторов второго, третьего и четвертого видов. Решение задачи сведётся к решению системы четырех линейных уравнений с четырьмя неизвестными:

Решаем ее методом Жордана-Гаусса:

.

Отсюда (шт). Обратим внимание на то, что в данном примере ведущие элементы в ходе преобразований выбирались только по главной диагонали. Это вовсе не обязательно. Ведущий элемент в каждой из строк может выбираться по вкусу решающего – необходимо лишь то, чтобы ведущий элемент не равнялся нулю.

Пример 2. Данные о продажах некоторого магазина за один день записаны в виде матрицы:

А = ,

где в строках подразумевается количество (шт.) товара по видам продаж (розничная, оптовая, по заказу, по купонам), в столбцах - количество (шт.) по видам товаров. Данные о ценах (тыс. р.) считаются неизвестными.

Они записаны матрицей-столбцом , элементы которой являются ценами соответственно первого, второго, третьего и четвертого видов товара. Дневная выручка от продажи каждого вида товара: .

Дневные выручки , , , от продажи каждого из четырех видов товара можно записать в виде вектор-столбца и определить его как произведение матриц и следующим образом:

.

Таким образом, получаем систему линейных алгебраических уравнений:

Решая ее методом Жордана-Гаусса, находим (это предлагается выполнить самостоятельно в качестве упражнения), что цены на товары первого, второго, третьего и четвертого видов составляют соответственно руб.

Получение обратной матрицы

В предложенном упрощенном варианте СЛАУ матрица , составленная из коэффициентов при неизвестных, имеет вид

.

Для ее обращения с успехом может быть использована та же процедура Жордана-Гаусса. Для этого справа к матрице «пристраивается» не вектор правых частей СЛАУ, а единичная матрица (в данном случае ):

				(3+1)	(3+2)	(3+3)
	-1
		-1

Над образовавшейся расширенной матрицей осуществляются те же самые итерации, что и при решении СЛАУ. Разумеется, в качестве ведущих элементов должны выбираться только элементы из «левой» части расширенной матрицы:

				(3+1)	(3+2)	(3+3)						(3+1)	(3+2)	(3+3)
(1)
	-1								-3	(-2)		-2
		-1							-1	-4		-3

(3+1)

(3+2)

(3+3)

(3+1)

(3+2)

(3+3)

-1/2

1/2

1/10

3/10

1/10

3/2

-1/2

7/10

1/10

-3/10

(5)

-2

1/5

-2/5

1/5

В полученной расширенной матрице необходимо так переставить столбцы, чтобы в «левой» половине образовалась строго единичная матрица (). В данном случае для этого надо поменять местами вторую и третью строки расширенной матрицы. В этом случае «правая» часть расширенной матрицы как раз и будет представлять собой искомую обратную матрицу :

.

Проверим правильность обращения умножением на исходную матрицу :

.

.

Обращение проведено верно. Умножим найденную обратную матрицу на вектор правых частей СЛАУ:

.

Результат совпал с результатом, полученным по методу Жордана- Гаусса, чего и следовало ожидать.

Рассмотрим более сложный пример. Пусть надо найти обратную матрицу для примера на стр.15. Берем матрицу коэффициентов при неизвестных от заданной СЛАУ :

,

тогда

.

Здесь все ведущие элементы брались по главной диагонали, и поэтому перестановка строк не потребовалась:

.

Проверка правильности обращения умножением на исходную матрицу:

.

Получим решение исходной СЛАУ , для которой найдена матрица :

.

Результаты совпали.