Модуль №2

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

по курсу «Начертательная геометрия»

Методические указания по решению задач в рабочей тетради

Тольятти 2007

Содержание

Модуль №1. 4

Точка. 4

Задача №1. 4

Задача №2. 7

Линия. 9

Задача №3. 9

Задача №4. 9

Задача №6. 10

Задача №8. 11

Задача №10. 12

Задача №11. 13

Задача №13. 14

Задача №12. 16

Модуль №2. 19

Плоскость. 19

Задача №17. 19

Задача №18. 21

Задача №20. 24

Задача №21. 26

Задача №22. 26

Задача №23. 28

Задача №24. 31

Задача №25. 31

Задача №26. 34

Задача №27. 36

Задача №30. 37

Задача №31. 37

Поверхность. 41

Задача №32. 41

Задача №23. 42

Задача №34. 44

Задача № 35. 47

Задача №36. 50

Задача №37. 50

Задача №38. 53

Задача №40. 57

Задача №41. 57

Задача №42. 60

Задача №43. 63

Задача №46. 65

Задача №47. 69

Задача №47. 72

Задача №48. 73

Задача №50. 75

Модуль №3. 79

Главные позиционные задачи. 79

Решение задач по 1 и 2 алгоритмам.. 79

Задача №55. 79

Задача №57. 80

Задача №58. 81

Задача №60. 84

Задача №61. 92

Задача №64. 94

Задача №67. 96

Задача №71. 99

Задача №73. 103

Задача №76. 106

Задача №78. 108

Модуль №4. 110

Метрические задачи. 110

Задача №81. 110

Задача №82. 111

Задача №83. 112

Задача №84. 113

Задача №85. 113

Задача №86. 114

Задача №87. 115

Задача №88. 116

Задача №89. 116

Задача №90. 118

Задача №91. 119

Задача №92. 120

Задача №93. 121

Задача №95. 122

Метод введения новой плоскости проекций. 123

Задача №100. 123

Задача №101. 126

Задача №102. 127

Задача №103. 130

Задача №104. 130

Задача №105. 132

Задача №106. 134

Задача №107. 136

Задача №107. 138

Задача №109. 141

Задача №110. 145

Метод вращения вокруг проецирующей оси. 148

Задача №115. 148

Задача №116. 149

Задача №117. 150

Модуль №1

Точка

Задача №1

Построить комплексные чертежи точек: А (15,30,0), В (30,25,15), С (30,10,15), D (15,30,20)

Решение задачи разделим на четыре этапа.

1. А (15,30,0); x_A = 15 мм; y_A = 30мм; z_A = 0.

Как Вы думаете, если у точки А координата z_A =0, то какое положение она занимает в пространстве?

Рис. 1.1

Так выглядит комплексный чертеж точки А построенный по заданным координатам

Если у точки одна координата равна нулю, то точка принадлежит одной из плоскостей проекции. В данном случае у точки нет высоты: z = 0, следовательно точка А лежит в плоскости П₁.

На комплексном чертеже оригинал (т.е. сама точка А) не изображается, есть только ее проекции.

2. В (30,25,15) и С (30,10,15).

На втором этапе объединим построение двух точек.

x_B = 30мм; x_C = 30мм

y_B = 35мм; y_C = 10мм

z_B = 15мм; z_C = 15мм

У точек В и С: x_B = x_C = 30мм, z_B = z_C = 15мм

а) Координаты х точек одинаковы, следовательно, в системе П₁ – П₂ проекции точек лежат на одной линии связи (рис. 1.2),

Рис. 1.2

б) Координаты z точек совпадают, (обе точки одинаково удалены от П₁ на 15мм,) т.е. они расположены на одной высоте, следовательно на П₂ проекции точек совпадают: В₂ = (С₂).

в) Для определения видимости относительно П₂ смотрим на рис. 1.3. Наблюдатель видит точку В, которая закрывает собой точку С, т.е. точка В расположена ближе к наблюдателю, поэтому на П₂ она видима. (См. М1 - 13 и 16).

Рис. 1.3

В системе П₂П₃ проекции точек также лежат на одной линии связи и видимость определяется по стрелке (рис. 1.2).

Точки В и С - называются фронтально конкурирующими.

3. D (15,30,20); x_D = 15мм; y_D = 30мм; z_D = 20мм.

а) На этом комплексном чертеже (рис. 1.4) построены три проекции точки D(D₁, D₂, D₃).

Все три координаты имеют числовые значения, отличные от нуля, поэтому точка не принадлежит ни одной плоскости проекций.

Рис. 1.4

б) Совместим пространственное изображение А и D (рис. 1.5). В системе П₁-П₂ проекции точек А и D лежат на одной линии связи, только точка D выше точки А, следовательно D - видима, а А - невидима (видима на П₁ та точка, которая расположена выше)

Рис. 1.5

На четвертом, завершающем этапе, соединим все три фрагмента комплексных чертежей точек А,В,С,D в один общий.

Рис. 1.6

Точки А и D - называются горизонтально конкурирующими.

Рис. 1.7

Задача №2

На заданных линиях связи построить проекции точек В и С: точка В расположена выше точки А на 10мм и ближе к наблюдателю на 15мм; точка С расположена ниже точки А на 10мм и ближе к плоскости П₂ на 5мм.

Решение задачи осуществляется на безосном комплексном чертеже.

1. Распределим линии связи для точек В и С

2. Проведем вспомогательные линии ^ А₁А₂, пересекая линии связи точек В и С.

Верхняя горизонтальная линии от А₂ будет определять уровень точек В и С относительно П₁, по сравнению с точкой А, т.е. "выше - ниже" А:

Точка В выше на 10мм, чем точка А относительно П₁

Точка С ниже на 10мм, чем точка А относительно П₁

3. Нижняя горизонтальная линия от А₁ будет границей расположения точек В и С относительно П₂, по сравнению с точкой А, т.е. "ближе - дальше" от наблюдателя:

Точка В ближе на 15мм к наблюдателю, чем А,

Точка С дальше от наблюдателя, т.е. ближе к П₂ на 5мм, чем точка А.

4. Убираем все вспомогательные построения.

Задача решена.

Линия

Задача №3

Для решения этой задачи, при необходимости, можно воспользоваться Модулем №1(стр. 20)

Задача №4

Построить проекции отрезка АВ горизонтали h(h₁h₂) || П₁ если Ðb=30°, |АВ| = 40мм, точка В удалена от П₂ дальше, чем точка А.

Решить эту задачу, значит построить точка В(В₁В₂).

h₂ ^ линии связи,

h₁ - проецируется в истинную величину;

Ðb - угол наклона горизонтали к П₂ проецируется без искажения.

Алгоритм построения.

1. Горизонталь начинаем строить с фронтальной плоскости: h₂ ^ лин. связи. Можно ли отложить на этой линии 40мм и построить точку В₂? Нельзя, т.к. h₂ проецируется с искажением.

2. На П₁ проведем вспомогательную прямую из А ^ А₁А₂.

3. Построим угол Ðb. Его можно отложить вверх от вспомогательной линии и вниз, но в задаче дано, что точка В удалена от П₂ дальше, чем точка А, поэтому луч для Ðb = 30° откладываем вниз.

4. На этом луче откладываем расстояние, равное 40мм и получаем: h₁ = А₁В₁ = |АВ|

5. Так как мы построили горизонтальную проекцию точки В Þ В₁, то для определения В₂ достаточно провести линию связи до пересечения с h₂ Þ В₂.

Задача №6

Построить проекции отрезка |МN| =30мм горизонтально проецирующей прямой при условии, что точка В делит отрезок пополам.

1. Горизонтально проецирующая прямая MN параллельна сразу двум плоскостям проекций: П₁ и П₂.

Отложить 15мм вверх и вниз от точки В₂

2. Фронтальная ее проекция – M₂N₂ проецируется без искажения на П₂ и совпадает с линиями связи, а горизонтальная проекция проецируется в точку, которая называется главной проекцией и обладает собирательными свойствами (М₁=N₁=В₁).

B1=N1=M1 – горизонтально конкурирующие точки

Задача №8

Определить истинную длину отрезка АВ и углы его наклона к плоскостям проекций П₁ и П₂

1. Анализ условия: ни одна из проекций отрезка АВ не || и не ^ линиям связи, значит задана прямая общего положения (Модуль №1, стр. 20).

A₁B₁ – первый катет. Перпендикуляр к A₁B₁ можно провести как из точки A₁ так и из В₁

2. Двухкартинный чертеж Монжа обратим, поэтому для нахождения натуральной величины отрезка АВ применяют метод прямоугольного треугольника. (Модуль №1, стр. 14).

А₁А₀ – второй катет. Гипотенуза А₀В₁ – это натуральная величина |AB| - это натуральная величина |AB|. Угол a - есть угол наклона AB к П_1.

Аналогично, можно найти натуральную величину отрезка АВ и угол (b) наклона данного отрезка АВ к П₂, построив прямоугольный треугольник на П₂. Самостоятельно.

Задача №10

Построить горизонтальную проекцию отрезка АВ, если Ðb = 20° (угол наклона к П₂), точка В дальше от П₂, чем точка А.

Решение задачи сводится к построению горизонтальной проекции точки В Þ В₁, т.е. надо определить разность удаления концов отрезка АВ до П₂.

Как это можно сделать?

Только построив прямоугольный треугольник на П₂ для этого информации?

Да, т.к. есть один катет А₂В₂ и угол наклона гипотенузы к нему.

Провести линию связи из В₂ т.к. В₁-В₂ находятся на одной линии связи. Провести из точки А вспомогательную прямую ^ А₁А₂ т.к. по условию точка В дальше от П₂, чем точка А.

А₂В₂ - первый катет. Перпендикуляр (второй катет) можно проводить из любой точки А₂ или В₂.

Построить из точки А₂ угол 20° (перенести графически) с помощью циркуля.

В₂В₀ (Dу) - второй катет. Гипотенуза А₂В₀ -натуральная величина отрезка АВ.

В₂В₀ - значение второго катета отложить от точки В Þ В₁.

Задача №11

Через точку А провести прямую m ° n, если EÎm, CÎn, точка Е расположена перед С на 10мм.

Прямые m и n скрещивающиеся, значит у них нет общих точек. Точки Е и С - фронтально конкуририрующие, т.е. точки С и Е лежат на одном ^ к П₂, поэтому С₁ и Е₁ лежат на одной линии связи.

Продлите линию связи из точки С₁. От С₁ отложите 10 мм ближе к наблюдателю Þ получим точку Е₁

Через две точки А₁ и Е₁, проводим m₁, точка Е(Е₁) расположена ближе к наблюдателю, значит на П₂ фронтальная проекция точки С(С₂) - невидима, взять в скобки..

Точки D и F - горизонтально конкурирующие, построить их фронтальные проекции и определить видимость самостоятельно (Модуль №1, стр.26).

Задача №13

Построить горизонтальную проекцию плоской кривой m.

1₁ =?, 2₁ =?, m₁ =?

Для построения проекций плоской кривой применяется метод хорд. Кривая считается плоской, если проекции точки пересечения проекций одноименных хорд лежат на одной линии связи (Модуль №1, стр. 29).

Строим хорду АВ на П₁ и П₂. На П₂ строим фронтальную проекцию хорды 1₂С₂.

А₂В₂ Ç 1₂С₂ = 3₂

Опустив линию связи из точки 3 ₂, находим точку 3₁. Точка 3(3₂,3₁) позволит построить горизонтальную проекцию хорды 1С.

Проводим линию связи из точки 1₂ до пересечения с продленной прямой 3₁С₁ Þ 1₁

Плавной кривой соединим точки А₁, 1₁, В₁, получаем часть горизонтальной проекции кривой m.

Аналогично, строится точка 2_{1 .}

Объединим все построения на одном чертеже, обозначим горизонтальную проекцию кривой m_{1 .}

Чем больше точек брать на кривой АВ, тем точнее построение (5-6 точек).

Задача №12

Определить взаимное положение отрезков прямых АВ и CD.

На 3-х картинном чертеже Монжа размеры по оси y (размеры ширины) на П₁ и П₃ остаются неизменными.

Точка С₃ в системе П₂- П₃ (на линии связи ^ оси Z), взята произвольно, т.к. чертеж безосный. Все остальные проекции точек А, В, D на П₃ жестко связаны с точкой С₃

(Модуль №1, стр.15).

Построение точки D₃

Построение точки В₃

Построение точки А₃

Решение задачи 14 см. Модуль №1, стр. 31.

Решение задачи 15 см. Модуль №1, стр. 34

Модуль №2