Векторное представление синусоиды

Используя теорему Эйлера, введем комплексную запись синусоидальной несущей:

(9.1)

При комплексной записи указаны два важнейших компонента любой синусоидальной несущей волны, называемые взаимно ортогональными: синфазной (действительной) и квадратурной (мнимой). Немодулированная несущая представляется в полярной системе координат в виде единичного вектора с постоянной скоростью рад/с, вращающегося против часовой стрелки. При переходе от времени к можно изобразить переменные во времени проекции вращающегося вектора на синфазной (I) и квадратурной (Q) осях. Эти декартовы оси обычно называют синфазным (I channel) и квадратурным (Q channel) каналами, а их проекции представляют взаимно ортогональные составляющие сигнала, связанные с этими каналами (рисунок 9.1).

Рисунок 9.1 Векторное представление синусоидальной несущей

Процесс модуляции несущей можно рассматривать как систематическое возмущение вращающегося вектора и его проекций. При амплитудной модуляции синусоидой с единичной амплитудой и частотой вращающийся вектор возмущается двумя боковыми векторами: , вращающимся против часовой стрелки, и , вращающимся по часовой стрелке рисунок 9.2).

Рисунок 9.2 Векторное представление амплитудной модуляции

Боковые векторы вращаются намного медленнее, чем вектор несущей волны. В результате модулированный вектор несущей растет и уменьшается согласно указаниям боковых полос, но частота его вращения остается постоянной.

В случае частотной модуляции вектор несущей ускоряет или замедляет свое вращение согласно указаниям боковых полос, при этом амплитуда вектора несущей остается неизменной (рисунок 9.3).

Рисунок 9.3 Узкополосная частотная модуляция

Амплитуда цифровых символов часто представляется в виде:

(9.1)

где - энергия i- того символа из алфавита М: ; Т – длительность символа

Выведем это. Сигнал описывается формулой , где А – максимальная амплитуда сигнала. Поскольку максимальное значение в раз превышает его среднеквадратическое (root-mean-square – rms) значение, то можно записать:

(9.2)

Пусть сигнал выражается через колебания тока или напряжения, так что представляет среднюю мощность Р, нормированную на 1 Ом, поэтому можно записать следующее:

(9.3)

Так как Р(Ватт)= , то выражение (9.3) можно переписать в виде:

(9.4)

Поскольку ключевой параметр при определении вероятности ошибки в процессе обнаружения – это энергия принятого сигнала, то форма записи (9.4) является удобной для выражения вероятности ошибки в цифровом символе как функцию энергии сигнала.