Багатовимірні середні інвестиційної привабливості цінних паперів 3 страница

Необхідні величини для розрахунку середньої з групових і міжгрупової дисперсій наведено в табл. 5.14.

Таблиця 5.14

ДО РОЗРАХУНКУ МІЖГРУПОВОЇ ТА СЕРЕДНЬОЇ З ГРУПОВИХ ДИСПЕРСІЙ

Групи за терміном зберігання, міс.	Число партій	Середній бал якості	Групова дисперсія	Розрахунок дисперсій
середньої з групових	міжгрупової
		8,7	0,051	0,36	1,3	11,83
		7,2	0,175	1,40	– 0,2	0,32
		5,9	0,220	1,10	– 1,5	11,25
Разом		7,4	´	2,86	´	23,4

За даними таблиці міжгрупова дисперсія становить

середня з групових дисперсій

.

Сума їх дорівнює загальній дисперсії: 0,143 + 1,170 = 1,313.

Міжгрупова варіація — це результат впливу фактора, який покладено в основу групування, внутрішньогрупова — інших факторів, окрім групувального. Відношення міжгрупової дисперсії до загальної характеризує частку варіації результативної ознаки у, яка пов’язана з варіацією групувальної ознаки. Це відношення називають кореляційним і позначають символом :

.

У розглянутому прикладі кореляційне відношення становить , тобто 84,2% варіації якості сиру пов’язані з терміном зберігання. На інші фактори припадає 100 – 84,2 =
= 15,8% варіації.

Правило декомпозиції варіації є основою вимірювання щільності зв’язку.

завдання для самоконтролю

1. Як виявляється закономірність розподілу?

2. Назвіть особливості частотних характеристик розподілу.

3. Чому саме середню розглядають як типовий рівень ознаки в сукупності? Як співвідноситься середня з іншими характеристиками центра розподілу?

4. Середня величина ознаки у двох сукупностях однакова. Чи може бути різною варіація цієї ознаки?

5. Терміни корисного використання нематеріальних активів фірми, захищених патентами, ліцензіями тощо, на кінець року становили:

Термін використання, років							Разом
У % до загальної суми нематеріальних активів	2,6	10,2	39,2	40,0	6,8	1,2

Визначіть ряд кумулятивних часток, медіану і моду терміну корисного використання нематеріальних активів фірми.

6. Кредитні ставки комерційних банків під короткострокові позики становили:

Кредитна ставка, %	Суми наданих позик, млн грн.
І квартал	ІІ квартал
До 10
10 — 20
20 — 30
30 і більше
Разом

За кожний квартал визначіть середню кредитну ставку та середнє лінійне відхилення. Як змінилися середній рівень і варіація кредитної ставки?

7. Прибутковість активів комерційних банків на початок року становила в середньому 15% при дисперсії 36, на кінець року — 10% при дисперсії 25. Оцініть відносну варіацію прибутковості активів на початок і кінець року, зробіть висновок про напрямок зміни середньої і варіації.

8. Розподіл агропідприємств за рівнем урожайності кукурудзи (ц/га) на зрошувальних землях характеризується даними:

Режим іригації	Середній рівень	Модальне значення	Середнє квадратичне відхилення
		57,0
		70,5

Порівняйте варіацію та асиметрію розподілу агропідприємств за рів­нем урожайності кукурудзи.

9. Квадратичний коефіцієнт варіації витрат домогосподарств на харчування становить 79%. Чи можна вважати однорідною сукупність домогосподарств за цією ознакою?

10. На яких засадах ґрунтується оцінка нерівномірності розподілу? Поясніть зміст і особливості розрахунку коефіцієнтів локалізації та концентрації.

11. За наведеними даними оцініть ступінь концентрації землі у фермерських господарствах, зробіть висновок.

Земельна площа на одне господарство, га	Структура господарств, %
За кількістю ферм	За земельною площею
До 10	8,3	0,3
10 — 50	29,2	4,5
50 — 200 200 — 500 500 — 1000	38,0 20,2 2,7	26,5 23,8 20,6
1000 і більше	1,6	24,3
Разом

12. За даними про віковий склад парку металообробного устаткування за два роки оцініть інтенсивність структурних зрушень, зробіть висновок.

Вікова група, років	У % до підсумку
До 10
10 — 20
20 і більше
Разом

13. Частка високоліквідних активів у сумі поточних активів становить 20%. Визначіть дисперсію частки високоліквідних активів.

14. Сукупність розбито на однорідні групи, причому варіація ознаки в групах значно менша, ніж у цілому по сукупності. Який зв’язок між загальною і груповою варіаціями?

15. Яку варіацію характеризує міжгрупова дисперсія?

16. За даними хронометражних обстежень затрати часу на обробку деталі на різних стругальних верстатах становили, хв:

у І зміну — 26, 24, 23, 28, 25, 24;

у ІІ зміну — 28, 30, 29, 33.

Визначіть групові, міжгрупову та загальну дисперсії затрат часу на обробку деталі. Покажіть взаємозв’язок дисперсій.

6.1. Суть вибіркового спостереження

Вибіркове спостереження — такий вид несуцільного спостереження, при якому обстежуються не всі елементи сукупності, що вивчається, а лише певним чином дібрана їх частина. Сукупність, з якої вибирають елементи для обстеження, називається генеральною, а сукупність, яку безпосередньо обстежують, — вибірковою. Статистичні характеристики вибіркової сукупності розглядаються як оцінки відповідних характеристик генеральної сукупності.

Практика вибіркових спостережень досить різноманітна. Це обстеження домогосподарств, маркетингові дослідження, аудиторські перевірки великих фірм, вивчення громадської думки тощо. При обстеженні невеликої частини генеральної сукупності зменшуються помилки реєстрації, можна розширити й деталізувати програму обстеження. З іншого боку, вибіркове спостереження забезпечує економію матеріальних, трудових, фінансових ресурсів і часу.

При вивченні певного кола соціально-економічних явищ вибіркове спостереження єдино можливе. Це стосується передусім перевірки якості продукції (жирності молока, чистоти та вологості зерна, міцності пряжі тощо). Часом вибіркове спостереження поєднується із суцільним. Наприклад, при перепису населення кожна четверта одиниця спостереження дає докладнішу інформацію. Крім того, вибірковий метод використовують для прискореної обробки матеріалів суцільного спостереження та перевірки правильності даних переписів і одноразових обстежень.

Об’єктивною гарантією того, що вибірка репрезентує (представляє) всю сукупність, є додержання наукових принципів організації та проведення спостереження, насамперед неупередженого, об’єктивного підходу до вибору елементів для обстеження. Принцип випадковості вибору забезпечує всім елементам генеральної сукупності рівні можливості потрапити у вибірку.

Якщо генеральна сукупність містить N елементів, а для обстеження потрібно вибрати з них частину n, то число можливих вибірок

.

Усі вони мають однакову ймовірність , але кожна з них несе в собі певну похибку, що відбиває факт випадковості вибору. Оскільки вибіркова сукупність не точно відтворює склад генеральної сукупності, то й вибіркові оцінки не збігаються з відповідними характеристиками генеральної сукупності. Розбіжності між ними називають похибками репрезентативності: для середньої — це різниця між генеральною та вибірковою середніми, для частки — різниця між генеральною і вибірковою р частками, для дисперсії — відношення генеральної та вибіркової дисперсій тощо.

За причинами виникнення похибки репрезентативностіподіляються на тенденційні(систематичні) та випадкові. Тенденційні похибки виникають, коли при формуванні вибіркової сукупності порушений принцип випадковості (упереджений ви­бір елементів, недосконала основа вибірки тощо). Ці похибки для всіх елементів сукупності однонапрямлені і призводять до зсунення результатів обстеження.

Випадкові похибки — це наслідок випадковості вибору елементів для дослідження і пов’язаних з цим розбіжностей між структурами вибіркової та генеральної сукупностей щодо ознак, які вивчаються.

При організації вибіркового обстеження важливо уникнути тенденційних похибок. Незсуненість — одна з вимог до будь-якої вибіркової оцінки. Притаманних вибірковому спостереженню випадкових похибок уникнути неможливо, проте теорія вибіркового методу дає математичну основу для обчислення таких похибок та регулювання їх розміру.

Згідно з генеральною граничною теоремою за умови достатньо великого обсягу вибірки розподіл вибіркових середніх (і часток), незалежно від розподілу генеральної сукупності, асимптотично наближається до нормального. Більшість значень вибір­кових середніх зосереджується навколо генеральної середньої, а отже, найбільшу ймовірність мають відхилення, близькі до нуля. Чим більше відхилення, тим менша його ймовірність. Для будь-якої ймовірності існує межа відхилень вибіркової середньої від генеральної. Використовуючи властивості нормального розподілу, для однієї конкретної вибірки можна визначити:

· похибки репрезентативності — середню та граничну для взятої ймовірності;

· імовірність того, що похибка вибірки не перевищить допустимого рівня;

· обсяг вибірки, який забезпечить потрібну точність результатів для взятої ймовірності.

Кінцева мета будь-якого вибіркового спостереження — поширення його характеристик на генеральну сукупність. Для середньої та частки визначаються межі можливих їх значень у генеральній сукупності з певною ймовірністю — довірчі межі. Якщо метою вибіркового обстеження є визначення обсягових показників генеральної сукупності — обсягів значень ознаки , то вибіркова середня поширюється на генеральну сукупність прямим перерахунком: .

Наприклад, загальна посівна площа під круп’яними культурами в районі становить 2000 га. За даними вибіркового обстеження середня врожайність круп’яних культур — 22,5 ц/га, похибка середньої — 0,5 ц/га. Отже, можливий обсяг валового збору зерна з цієї площі буде не менший за 44 тис. ц [(2000 (22,5 – 0,5)]. Максимальний валовий збір — 46 тис. ц [(2000 (22,5 + 0,5)].

коли вибіркове спостереження проводиться з метою уточнення результатів суцільного спостереження, застосовується метод коефіцієнтів. Наприклад, після щорічного перепису худоби, що належить населенню, проводиться 10%-ний вибірковий контроль, мета якого — визначити частку недообліку худоби. За даними перепису в районі налічується 10000 корів. У домогосподарствах, які потрапили до контрольної вибірки, за переписом 200 корів, а за даними перевірки — 205. Отже, частка недообліку корів становить . Це і є той коефіцієнт, на який слід скоригувати результати перепису: 10000 · 1,025 = 10250 корів.

6.2. Вибіркові оцінки середньої та частки

У статистиці використовують два типи оцінок параметрів генеральної сукупності — точкові та інтервальні. Точкова оцінка — це значення параметра за даними вибірки: вибіркова середня та вибіркова частка р. Інтервальною оцінкою називають інтервал значень параметра, розрахований за даними вибірки для певної ймовірності, тобто довірчий інтервал. Чим менший довірчий інтервал, тим точніша вибіркова оцінка.

Межі довірчого інтервалу визначаються на основі точкової оцінки та граничної похибки вибірки :

для середньої

;

для частки

,

де m — стандартна (середня) похибка вибірки; t — квантиль розподілу ймовірностей (довірче число).

Стандартна похибка вибірки m є середнім квадратичним відхиленням вибіркових оцінок від значення параметра в генеральній сукупності. Як доведено в теорії вибіркового методу, дисперсія вибіркових середніх у n раз менша від дисперсії ознаки в генеральній сукупності, тобто . Оскільки на практиці генеральна дисперсія ознаки невідома, у розрахунках можна використати вибіркову незсунену оцінку дисперсії: для повторної вибірки , для безповторної . Отже, формули стандартної похибки:

для повторної вибірки

,

для безповторної вибірки

.

Щодо практичного використання наведених формул слід урахувати таке:

а) дисперсія частки , де р і q — частки вибіркової сукупності, яким відповідно властива і невластива ознака;

б) у великих за обсягом сукупностях (30 і більше одиниць) поправка не вносить істотних змін у розрахунки, а тому береться до уваги лише у вибірках з невеликою кількістю елементів;

в) коригуючий множник для безповторної вибірки , тобто при малих величинах (наприклад, для 2 чи 5%-ної вибірки) наближається до 1, а тому розрахунок можна виконувати за формулою для повторної вибірки; при 10%-ній вибірці коригуючий множник становить 0,949, при 20%-ній — 0,894.

Гранична похибка вибірки — це максимально можлива похибка для взятої ймовірності F (x). Довірче число t показує, як співвідносяться гранична та стандартна похибки. Як бачимо з рис. 6.1, з імовірністю 0,683 гранична похибка не вийде за межі стандартної , з імовірністю 0,954 вона не перевищить ± 2m, з імовірністю 0,997 — ± 3m. На практиці найчастіше застосовують імовірність 0,954 (на рис. 6.1 незаштрихована частина площини).

Рис. 6.1. Співвідношення ймовірностей та ширини довірчих меж

З урахуванням сказаного формули граничних похибок середньої та частки записують так:

	Повторна вибірка	Безповторна вибірка
для середньої	;	;
для частки	;	.

Як видно з формул, розмір граничної похибки залежить:

· від варіації ознаки s²;

· обсягу вибірки n;

· частки вибірки в генеральній сукупності ;

· узятого рівня ймовірності, якому відповідає квантиль t.

Чим більша варіація ознаки в генеральній сукупності, тим більша в середньому похибка вибірки. Залежність похибки від обсягу вибіркової сукупності обернено пропорційна. Щоб зменшити похибку вибірки вдвічі, обсяг останньої має зрости в 4 рази. При безповторному доборі похибка буде тим менша, чим більша частка обстеженої сукупності . Очевидно, при суцільному спостереженні похибка репрезентативності відсутня (D = 0).

При малих вибірках (n < 30), у розрахунках стандартних похибок використовують вибіркові оцінки дисперсій . Квантилі t визначають за розподілом імовірностей Стьюдента. У табл. 6.3 наведено деякі значення квантилів t розподілу Стьюдента для ймовірності 0,95 і числа ступенів свободи, тобто числа незалежних величин, необхідних для визначення даної характеристики, k = n – 1. При n > 30 квантилі розподілу Стьюдента і нормального розподілу збігаються.

Розглянемо методику вибіркового оцінювання середньої та частки на прикладі обстеження 225 домогосподарств регіону. За результатами 1%-ної вибірки 70% грошового доходу домогосподарства витрачають на харчування. Середньодушові витрати на харчування за місяць становлять 82 грн. при дисперсії 8510.

Визначимо межі середньодушових витрат на харчування з імовірністю 0,954 (t = 2).

Гранична похибка

грн.

Це дає підставу стверджувати з імовірністю 0,954, що середньодушові витрати на харчування в цілому по регіону щонайменше 69,7 грн. і не перевищують 94,3 грн.:

.

Перш ніж визначити граничну похибку частки витрат на харчування, необхідно обчислити її дисперсію:

= 0,7(1 – 0,7) = 0,21.

Гранична похибка

або 6,1%.

Щодо інтервалу можливих значень частки витрат на харчування в генеральній сукупності, то межі його становлять 63,9 і 76,1%:

.

У статистичному аналізі часто постає потреба порівняти похибки вибірки різних ознак або однієї і тієї самої ознаки в різних сукупностях.

Такі порівняння виконують за допомогою відносної похибки, яка показує, на скільки процентів вибіркова оцінка може відхилятися від параметра генеральної сукупності. Відносна стандартна похибка середньої — це коефіцієнт варіації вибіркових середніх:

.

Її розмір можна визначити також на основі коефіцієнта варіації ознаки V_x:

для повторної вибірки

;

для безповторної вибірки

.

Так, у нашому прикладі відносна похибка середньодушових витрат на харчування

.

Такий самий результат дає розрахунок відносної похибки на основі коефіцієнта варіації:

;

Вибіркову похибку частки також слід порівнювати з часткою р. Адже одна і та сама похибка = 2% для р = 80% є малою, для р = 40% — допустимою, для р = 10% — завеликою. Відносну похибку частки обчислюють за формулою

.

У нашому прикладі відносна похибка частки витрат на харчування становить 4,36%:

,

що значно менше порівняно з похибкою середньодушових витрат на харчування (7,5%).

Отже, відносну похибку можна використати для порівняння вибіркових оцінок різних ознак. На практиці достатнім рівнем точності вважається Іноді використовують граничну відносну похибку, яка враховує ймовірність статистичного висновку .

6.3. Різновиди вибірок

Формування вибірки — не безладний процес. Ця дія виконується за певними правилами. Передусім визначається основа вибірки. У сукупностях, які складаються з «фізичних» елементів, одиниця основи може репрезентувати або окремий елемент сукуп­ності, або певне їх угруповання. Наприклад, вивчається використання комбайнів. Загальна їх кількість N розподілена за М бригадами, кожна з них має N_j комбайнів. Одиницею основи вибірки може бути комбайн або бригада. Відповідно формується вибіркова сукупність: у першому випадку вибирається n комбайнів із загального їх числа N, у другому — m бригад із загального їх числа M.

Найпростішою основою вибірки є перелік елементів генеральної сукупності, пронумерований від 1 до N. Простими вважаються також набори звітів, анкет, карток тощо.

На практиці досліджувані сукупності мають, як правило, не одну, а низку альтернативних основ для вибірки. Наукове обґрунтування та правильний вибір основи — перша передумова забезпечення репрезентативності результатів вибіркового спостереження.

Від основи вибірки залежить спосіб добору елементів сукупності для обстеження. Найчастіше використовують способи добору: простий випадковий, механічний, розшарований (районований), серійний.

Простий випадковий добір провадиться жеребкуванням або за допомогою таблиць випадкових чисел. Це класичний спосіб формування вибіркової сукупності, який передбачаєпопередню досить складну підготовку до формування вибірки. Для жеребкування на кожну одиницю генеральної сукупності необхідно заготувати відповідну фішку; при використанні таблиць випадкових чисел усі елементи цієї сукупності мають бути пронумеровані. У великих за обсягом сукупностях така робота здебільшого недоцільна, а часом і неможлива. Тому на практиці застосовуються інші різновиди випадкових вибірок.

Механічний добір. Основа вибірки — упорядкована множина елементів сукупності. Добір елементів здійснюється через рівні інтервали. Крок інтервалу обчислюється діленням обсягу сукупності N на передбачений обсяг вибірки n. Початковий елемент вибірки визначається як випадкове число всередині першого інтервалу, другий елемент залежить від початкового числа й кроку інтервалу. Так, для частки вибірки кроком інтервалу є число = , тобто у вибірку має потрапити кожний двад­цятий елемент. Якщо початковий елемент — випадкове число 7, то другим елементом буде 7 + 20 = 27, третім — 27 + 20 = 47 і т. д.

Механічна вибірка порівняно з простою випадковою ефективніша, її простіше здійснити. Проте за наявності циклічних коливань значень ознаки, цикл коливань яких збігається з інтервалом, можливий зсув вибіркових оцінок. Похибку механічної вибірки обчислюють за формулою похибки безповторної вибірки.

Вивчаючи безперервні в часі процеси, зокрема технологічні (структури затрат робочого часу, використання виробничого устаткування), проводять моментні спостереження. Суть їх — у періодичній фіксації стану процесу на певні моменти часу, які вибирають за схемою випадкової або механічної вибірки (через певні інтервали часу).

На етапі підготовки моментних спостережень визначають перелік можливих варіантів стану процесу, наприклад перелік причин простоїв устаткування. Під час обстеження певної сукупності одиниць устаткування, скажімо, верстатів, у визначені моменти часу фіксується, працює r -й верстат чи ні (якщо ні, зазначаються причини простою). Припустимо, що в цеху працюють 10 верстатів і за 8-годинну зміну через кожні півгодини проводилась реєстрація використання цих верстатів. Було зроблено 160 записів (2 · 8 · 10), у 144 випадках зазначено, що верстат працював, у 16 — не працював. Частка працюючих верстатів становить 0,9, дисперсія частки — 0,9 × 0,1 = 0,09. Із імовірністю 0,954 гранична похибка вибірки , або 4,6%. Отже, частка працюючих верстатів за зміну становила не менш як 90 – 4,6 = 85,4%.

Щодо повноти охоплення елементів сукупності, то моментне спостереження суцільне, воно вибіркове впродовж часу, бо охоплює не весь час роботи устаткування, а лише певні моменти. У разі правильної організації моментні обстеження забезпечують досить точні результати швидко і з меншими витратами, ніж при суцільному спостереженні.

Розшарований (районований, типовий) добір — це спосіб формування вибірки з урахуванням структури генеральної сукупності. На відміну від простого випадкового та механічного добору, які проводяться в цілому по генеральній сукупності, розшарований передбачає її попередню структуризацію й незалеж­ний добір елементів у кожній складовій. Обсягом розшарованої вибірки є сума частинних вибірок , тобто , де m — число складових (груп, типових районів тощо).