Задача 2. Измерить степень зависимости двух случайных величин позволяет коэффициент корреляции

Измерить степень зависимости двух случайных величин позволяет коэффициент корреляции. Чем ближе к единице (по модулю) коэффициент корреляции, тем ярче выражена линейная зависимость случайных величин. Однако если по случайной выборке мы получили коэффициент корреляции, отличный от нуля, то отсюда еще непосредственно не следует, что коэффициент корреляции генеральной совокупности отличен от нуля. Значит, помимо вычисления коэффициента корреляции следует проверить гипотезу о его значимости. Проверяя гипотезу, нам предстоит либо убедиться в том, что и для генеральной совокупности коэффициент корреляции будет отличен от нуля, либо отвергнуть эту гипотезу.

Итак, даны два ряда выборочных значений X и Y. Полагая, что имеет место нормальное распределение двумерной генеральной совокупности, проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции.

1. Найти выборочный коэффициент корреляции .

2. Вычислить наблюдаемое значение критерия

.

3. По таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости a и числу степеней свободы k = n - 2 найти критическую точку двусторонней критической области t.

4. Если Т_набл < t – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Иначе отвергаем.

Если нулевая гипотеза принимается, то X и Y некоррелированы, в противном случае – коррелированы.

Пример 6.5.

Пусть Х = 4, 3, 3, 2, 4, 3, 3, 4, 4, 4; Y = 3, 3, 3, 2, 5, 2, 3, 4, 3, 5.

Найти коэффициент корреляции этих величин. Построить диаграмму рассеяния (изобразить эти величины точками на графике, одна ось которого соответствует переменной Х, а вторая – Y). Что можно сказать о зависимости этих величин?