Математическая статистика. Математическая статистика – раздел математики, посвященный математическим методам сбора, систематизации

Математическая статистика – раздел математики, посвященный математическим методам сбора, систематизации, обработки и интерпретации статистических данных (результатов наблюдений), а также использованию их для научных и практических выводов.

6.1. Основные понятия
математической статистики

Генеральная совокупность – это совокупность объектов, обладающих признаками, распределение которых в данной генеральной совокупности изучается статистическими методами.

Выборка – множество объектов, отобранное случайным образом из генеральной совокупности.

Все задачи математической статистики сводятся к тому, чтобы по выборочным данным сделать обоснованные выводы о закономерностях, которым подчинена генеральная совокупность, и оценить степень надежности этих выводов.

Для решения практических задач важны не сами объекты, а лишь те их признаки, распределение которых изучается в данной задаче. Поэтому можно рассматривать генеральную совокупность как случайную величину X с функцией распределения F_X(x), а выборку объема n – как результат n наблюдений над данной случайной величиной.

Пусть (х₁, х₂,..., х_n) – выборка из генеральной совокупности с функцией распределения F(x). Тогда n – объем выборки.

Наблюдаемые значения х₁, х₂,..., х_n случайной величины – варианты, а каждое значение – варианта.

Последовательность вариант, записанная в возрастающем порядке – вариационный ряд.

Частота – число, показывающее, сколько раз встречается в выборке то или иное значение.

Относительная частота – отношение частоты к объему выборки.

Статистический ряд – перечень вариант и соответствующих им частот.

Полигон частот – ломаная, отрезки которой соединяют точки (x₁, n₁), (x₂, n₂), … (x_k, n_k), где n_i – частота варианты x_i.

Пример 6.1.

Пусть дана выборка: 3, 6, 1, 3, 5, 6, 2, 3 (например, это могут быть номера месяцев рождения присутствующих в классе).

Построим вариационный ряд: 1, 2, 3, 3, 3, 5, 6, 6

Статистический ряд – значения и соответствующие частоты:

xi
ni

Построим полигон частот: ось абсцисс – варианты x_i, ось ординат – соответствующие частоты n_i. Полученные точки соединим ломаной (см. рис. 6.1).

n

Рис. 6.1.

Для решения многих практических задач достаточно знать не весь вариационный ряд, а его сводные характеристики, например, характеристики центральной тенденции и изменчивости (вариации).

Мода (M₀) – варианта, имеющая наибольшую частоту.

Медиана (m_e) – значение признака, приходящееся на середину вариационного ряда:

если n=2k+1, то m_e=x_k+1, [7]

если n=2k, то m_e=(x_k + x_k+1)/2.

Выборочная средняя – среднее арифметическое значение выборочной совокупности: = (x₁+x₂+… +x_n)/n

Выборочная дисперсия – среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений от их среднего значения:

С целью упрощения вычислений представим дисперсию в виде .

Выборочная дисперсия служит смещенной оценкой генеральной дисперсии, т.е. математическое ожидание выборочной дисперсии не равно генеральной дисперсии. Поэтому часто рассматривается исправленная дисперсия, которая является несмещенной оценкой генеральной дисперсии.

Исправленная дисперсия (обозначается s²) вычисляется по формуле

.

Аналогично функции распределения случайной величины для выборок вводится понятие функции распределения выборки или эмпирической функции распределения (т.е. функции распределения, полученной опытным путем).

Эмпирическая функция распределения в точке х есть доля элементов выборки, меньших х:

,

где n_x – число вариант, меньших х; n – объем выборки.

Пример 6.2.

Пусть дана выборка: 3, 6, 1, 3, 5, 6, 2, 3. Найти моду, медиану, среднее и дисперсию выборки. Построить график эмпирической функции распределения.