Модель общего экономического равновесия Л. Вальраса

В этом разделе рассмотрим модель общего экономического равновесия, в которой объединены модели поведения потребителей и модели поведения фирм, которую можно назвать усовершенствованным вариантом модели Л. Вальраса, в которой экономика выступает как дезагрегированная, децентрализованная система.

Исторически именно модель Л. Вальраса стала объектом изучения условий равновесия в экономике, хотя само понятие равновесия было введено в экономическую науку значительно раньше[9].

Рассмотрим экономическую постановку задачи определения равновесных цен в системе товарного хозяйства, в которой производится J видов товаров и затрачивается I факторов производства[10]. Владельцами производственных факторов являются рабочие, землевладельцы, собственники капитала и другие агенты рыночных отношений.

Обозначим через цену j -го блага. В этом случае вектор-строка характеризует цены выпускаемой продукции. Обозначив через цену i -го производственного фактора, получим вектор-строку цен факторов производства. В этом случае цены выступают как набор обменных отношений[11].

Имеется конечное число фирм F. Пусть - количество i -го производственного фактора, приобретенного на рынке и израсходованного на производство продукции в течение года фирмой f, а – объём продаж j -го продукта, выпускаемого фирмой f .

Производственную функцию каждой фирмы запишем в виде неявной функции:

Прибыль фирмы формируется из валового дохода от продаж произведенной продукции за вычетом стоимости факторов производства:

или в векторной форме:

(3.94)

Модель поведения фирмы f описывается следующей оптимизационной задачей:

при условии . (3.95)

Функция Лагранжа задачи (3.95) имеет следующий вид:

(3.96)

где – множитель Лагранжа для фирмы f.

Необходимым условием экстремума построенной функции (в нашем случае, условием максимума прибыли) является равенство нулю ее первых частных производных по , и :

что приводит к системе ) уравнений:

с ) неизвестными: , и .

Так как аналогичные уравнения справедливы для каждой фирмы f , то общее число уравнений для всей совокупности фирм, функционирующих на рынке, равно .

Пусть на рынке функционируют R потребителей, каждый из которых одновременно является собственником некоторых факторов производства. Например, рабочий – собственник рабочей силы, которую он продает на рынке производственных факторов по заданным ценам и получает денежный доход, землевладельцы сдают землю в аренду и получают ренту. Кроме того, некоторые потребители имеют долю в фирме, а следовательно, претендуют на дивиденды.

Общий доход потребителя от продажи факторов производства и от долевого участия в фирмах расходуется на покупку потребительских товаров по заданным рынком ценам.

Пусть – количество j -го товара, приобретенного r – ым потребителем, –количество i - го производственного фактора, проданного им . Тогда общая полезность потребителя r от потребляемых товаров и от проданных факторов производства выражается функцией порядковой полезности:

Запишем бюджетное ограничение r –го потребителя:

где – доля потребителя r в доходах фирмы f.

Здесь первая сумма в левой части соотношения (3.104) выражает общий доход r –го потребителя от продажи производственных факторов, вторая – доход потребителя как собственника капитала. Сумма в правой части выражает его общий расход.

Если долю участия r –го потребителя в фирмах обозначить вектором , а доходы фирм – , то бюджетное ограничение r –го потребителя может быть представлено в векторной форме:

. (3.105) Модель поведения r –го потребителя описывается следующей оптимизационной задачей:

при условии . (3.106)

Функция Лагранжа сформулированной задачи имеет вид:

(3.107)

где – множитель Лагранжа r –го потребителя.

Необходимым условием экстремума построенной функции (в нашем случае, условием максимума полезности потребителя) является равенство нулю ее первых частных производных по и , т.е. выполнение следующих соотношений:

сводящихся к системе из уравнений с неизвестными:

Т. к. эти уравнения справедливы для каждого потребителя, то общее число уравнений для всех потребителей равно .

Кроме и уравнений, в совокупности представляющих условия рыночного равновесия для фирм и потребителей, необходимо учесть условия равновесия спроса и предложения на производственные факторы и производимые товары потребления: общая сумма спроса на товар (производственный фактор) равна совокупному предложению товара (фактора).

Равновесие для рынка товаров потребления задается равенствами:

для рынка производственных факторов – равенствами:

Таким образом, имеется уравнений для рынка потребителей, уравнений - для рынка производителей и балансовых уравнений, задающих равновесие спроса и предложения для товаров потребления и факторов производства[12], т.е. задающих условия общего равновесия системы конкурентного товарного хозяйства.

В представленной модели индивидуальный участник системы является одновременно потре­бителем r₀ и производителем f ₀: он ведет себя как потребитель при выборе меню потребления и как производитель при формировании плана производства.

Однако основное равенство теории общего равновесия – закон Л. Вальраса – утверждает, что общий спрос должен соответствовать общему предложению при любой системе цен. Следовательно, одно из полученных уравнений не является независимым и может быть представлено как линейная комбинация остальных. Покажем это.

Рассмотрим общее бюджетное ограничение потребителей:

Поскольку сумма долей потребителей во всех фирмах равна 1, получим:

Уравнение (3.117) означает, что общий доход потребителей вместе с общим доходом фирм равен общей стоимости потребительских товаров.

В случае нулевого совокупного дохода ( =0)[13] справедливо следующее равенство:

означающее, что совокупная рыночная стоимость затраченных производственных факторов равна общей стоимости конечной продукции.

Пользуясь выражением прибыли фирмы (2.93), представим балансовое уравнение (3.117) в следующем виде:

После группирования соответствующих выражений, получим:

Из выражения (3.122) следует, что одно из уравнений общего равновесия зависит от остальных.

Предположим, например, что все рынки, кроме рынка последнего производственного фактора, находятся в состоянии равновесия:

Подставив это выражение в (3.117), получим в левой части уравнения ноль, все члены в правой части, кроме последнего, также будут нулями, т.е. соотношение

предполагает наличие равновесия на рынке последнего фактора в предположении, что значение ненулевое. Таким образом, последнее уравление может быть выражено через остальные, поэтому имеем независимых уравнений.

Рассмотрим число неизвестных.

Фирма f производит J товаров, использует I производственных факторов. Вместе с множителями Лагранжа получается неизвестных. Каждый потребитель продаёт I факторов, покупает J товаров и характеризуется собственным множителем Лагранжа. Таким образом, общее число неизвестных - . Неизвестными являются также цены на товары и производственные факторы.

Функции спроса и предложения как функции цен обладают свойством нулевой однородности, т.е. на величины спроса и предложения влияет только соотношение цен, но не их уровень. Поэтому цену одного товара, например первого, можно считать фиксированной (все остальные цены могут быть выражены относительно цены первого товара).

В результате неизвестными являются цен, а общее число неизвестных совпадает с числом уравнений.

Равенство числа уравнений числу неизвестных ещё не доказывает существования решения и его единственности, однако при сделанных выше предпосылках равновесие, по-видимому, должно обеспечиваться.

Рассмотрим некоторые аспекты теории равновесия.

Как отмечено выше, экономические агенты - производители и потребители, -действуя в эгоистических интересах, составляют индивидуальные планы производства и потребления. Характер принимаемых решений зависит от используемых технологий производства, систем предпочтений потребителей и цен. В том случае, если технология и система предпочтений фиксированы, то существенной оказывается система цен.

Может оказаться, что при этой системе решения потребителей и производителей несовместны: спрос (планы потребителей) не соответствует предложению (планам производителей).

Первый вопрос - вопрос существования равновесия. Найдётся ли для данных систем предпочтений потребителей и технологии производства набор цен, обеспечивающий совместимость решений производителей и потребителей? Наборы цен, обеспечивающие совместность планов производителей и потребителей, называются равновесными. Равновесными называют также соответствующие решения экономических агентов. Совокупность цен равновесия и равновесных решений обеспечивает состояние равновесия.

Следующая проблема – достижимо ли состояние равновесия для экономики, если первоначально она в этом состоянии не находилась?

Если состояние равновесия существует, единственно и достижимо, то как оно будет изменяться при изменении технологии производства и предпочтений потребителей? Этот вопрос относят к области сравнительной статики. Слово «статика» фигурирует здесь по той причине, что изменения в технологии и предпочтениях предполагаются лишь эпизодическими.

Наконец, еще один важный вопрос – насколько эффективно состояние равновесия с точки зрения общего благосостояния, т.е. насколько оправдывается положение А. Смита, согласно которому, действуя из эгоистических побуждений, экономические агенты добиваются максимального роста общего благосостояния, хотя непосредственно это не входит в их намерения.

Отметим, что поставленные вопросы, вообще говоря, независимы. Модель экономики должна быть достаточно богатой, чтобы с её помощью можно было получить ответы на все вопросы.

Рассмотрим подробно проблему существования. Предположим, что есть R потребителей и F производителей. Планы каждого из них описываются J -мерными наборами чисел. Пусть – план потребления r -го потребителя, где – общее количество j -го товара, которое он решил приобрести,
– план производства фирмы f, где – объём j -го продукта, который он решил реализовать на рынке.

Построим векторную функцию

с компонентами

где первая сумма в правой части отражает совокупный объем потребления продукта j (совокупный спрос), вторая сумма – совокупный объем его производства (совокупное предложение).

Функция характеризует избыточный спрос. Она показывает, насколько при данной системе цен спрос на товары из потребительского набора превосходит предложение.

Будем считать, что функция обладает следующими свойствами:

1. для любых p ≥ 0, , т.е. является однородной функцией нулевой степени. Нулевая однородность позволяет ограничиваться рассмотрением нормированного набора цен, для которого , т.к. любой другой набор цен может быть получен на основе нормированного путём умножения на некоторое . Избыточный спрос при этом не изменится.

Обозначим S множество . Множество S – компакт, что позволяет использовать теорему Брауэра о неподвижной точке.

2. В соответствии с законом Вальраса равновесные цены должны быть равны нулю, если равновесное предложение превышает спрос:

С другой стороны, на рынках благ с положительными ценами избыточный спрос должен быть равен нулю:

Другими словами, в условиях равновесия стоимость избыточного спроса (в равновесных ценах) равна нулю (поскольку сам избыточный спрос равен нулю).

Это свойство согласуется с постановками моделей поведения потребителей и производителей: весь доход затрачивается на покупку и суммарный доход равен совокупному расходу. В процессе обмена доход не создаётся и расходуется без потерь.

3. Функция непрерывна при любом р. Это требование облегчает доказательство существования равновесия. Однако оно неудобно тем, что в силу ограниченности непрерывной функции на компактном множестве S образ является ограниченным множеством. В этом случае при стремлении цен некоторых товаров к нулю избыточный спрос на них имеет конечный предел, что, однако, не согласуется с аксиомой ненасыщаемости полезности потребителей[14].

Для ситуации, когда избыточный спрос можно определить однозначно, переформулируем определение равновесия в терминах функции избыточного спроса.

Определение 3.5. Система цен р* называется равновесной, если

Это определение равновесия допускает возможность отрицательного избыточного спроса, т.е. возможность избыточного предложения. Однако нетрудно заметить, что если р* - система равновесных цен, то избыточное предложение возможно только при нулевой цене.

Другими словами, если для некоторого , то . Действительно, если , то одно слагаемое суммы , а именно , неположительно , т.к.

В соответствии с законом Вальраса . Следовательно, равенство
может быть достигнуто только в случае

Теорема 3.1. Если функция избыточного спроса удовлетворяет условиями 1) – 3) закона Вальраса, то существует система равновесных цен .

Доказательство: при доказательстве теоремы будем опираться на теорему Брауэра о неподвижной точке[15].

Построим подходящее отображение f, неподвижная точка которого будет являться равновесной системой цен. Определим векторную функцию ∆ (р) = [∆₁ (p), ∆₂ (p),…, ∆_j (p),…, ∆_J (p)], положив ∆_j (p) = max {0; Z_j (p)}. Очевидно, что она непрерывна и обладает следующим свойствами:

a) ∆_j (p) > 0 в том и только в том случае, если Z_j (p) > 0;

b) ∆_j (p) = 0, если Z_j (p) = 0;

c) р_j + ∆ _j (р) ≥ 0 .

Функции ∆_j (p) «имитирует» возможную реакцию органа, ответственного за ценообразование, на ситуацию не­равновесия на рынках благ. Цена j -го товара растет в том и только в том случае, если опрос на него не удовлетворятся; не изменяется, если опрос равен предложению; после изменения остаётся неотрицательной.

Построим функцию

Функция F(p) ставит в соответствие системе цен р скорректированную систему цен р +∆(р). Деление F(p) на обеспечивает равенство

кроме того, функции ∆(р), и, следовательно, Деление на возможно, т. к. :

Очевидно, что построенное таким образом отображение F(p) является непрерывным отображением выпуклого компактного множества в себе. В силу теоремы Брауэра, существует вектор цен являющийся неподвижной точкой функции F(p):

(3.133)

Покажем, что - равновесная система цен, т.е. .

Положим

Тогда

Домножив левую и правую части этого равенства на получим

В силу закона Вальраса левая часть равенства равна нулю:

По определению функции ∆(р) , поэтому предыдущее равенство возможно только в случае, если

Откуда (в противном случае из свойства а) следовало бы ).

Теорема доказана.

Вообще говоря, из рассмотренных моделей не следует, что решения потребителей и производителей при заданных ценах определены однозначно: одному набору цен может соответствовать множество векторов избыточного спроса, т.е. отображение становится точечно-множественным.

Соответственно приходится изменять определение равновесия: цены называются равновесными, если в множествах индивидуальных решений потребителей r и производителей f , соответствующих ценам , найдутся такие планы потребления и производства что

Обобщённую постановку задачи экономического равновесия рассматривали К. Эрроу и Г. Дебре. Ими было установлено, что система обобщённых моделей поведении экономических агентов – модель Эрроу – Дебре – гарантирует наличие у функций избыточного спроса точечно – множественных аналогов свойств 1 – 3 закона Вальраса, из которых, на основе теоремы о неподвижной точке Какутани (обобщение теоремы Брауэра), выводится факт существования равновесия[16].

Модель Л. Вальраса построена на основе теории спроса и предложения, исходным положением которой является ограниченность, редкость благ. Сама полезность выступает как функция ограниченности благ, определяющей соотношения их полезностей. Ценообразование на ограниченные товары характеризуется тем, что спрос и предложение определяют как механизм формирования среднего уровня цен, так и сам этот уровень. Цена, совпадающая с издержками производства, является частным случаем цены равновесия спроса и предложения. Поскольку в данном случае редкость не устраняется, а только модифицируется, то основой механизма ценообразования является соотношение спроса и предложения.

Вопросы для самопроверки:

1.

2.

3.

3.1. При рассмотрении проблем моделирования поведения потребителей, что является первичным и определяющим: потребитель или рынок? Ответ обоснуйте.

3.2. В чем заключается взаимосвязь между нелинейными моделями производства и потребления. Можно ли рассматривать эти сферы отдельно? Ответ обоснуйте.

3.3. Что характеризует отношение потребительского предпочтения? От чего оно зависит? На что влияет?

3.4. Дайте определение бюджетного множества потребителя. Как оно формируется?

3.5. При векторе рыночных цен на блага (1; 4) потребительский набор состоит из 2 ед. первого блага и 3 ед. второго (вектор (2; 3)). Из приведенных ниже потребительских наборов выберете менее предпочтительные: (5; 2), (7; 3), (8; 1), (10; 0), (10; 1), (15; 0). Ответ обоснуйте.

3.6. Имея возможность приобретать два блага в количествах 6 и 6 ед. по рыночным ценам 4 и 6 ед. соответственно, при изменившихся рыночных условиях индивид покупает только 10 ед. первого блага, в то время как рыночные цены первого и второго благ составляют 6 и 3 ед. соответственно. Является ли данный выбор рациональным с точки зрения располагаемого бюджета? Может ли индивид приобрести оба блага в количествах 10 и 10 ед.? Ответ обоснуйте.

3.7. Сформулируйте основные положения двух основных концепций поведения потребителя. Приведите исходные предпосылки этих концепций. К одинаковым ли результатам приводит анализ поведения потребителя, выполненный на их основе?

3.8. Дайте определение предельной полезности потребления. Как определяется этот показатель? Как интерпретируется полученный результат?

3.9. Сформулируйте первый и второй законы Госсена. Который из этих законов является более широко применяемым? Почему?

3.10. Какую закономерность характеризует субъективная функция порядковой полезности потребителя?

3.11. Какими ключевыми свойствами характеризуется неоклассическая функция порядковой полезности?

3.12. Перечислите основные характеристики первого порядка функции порядковой полезности. Как они определяются? Как интерпретируются полученные результаты?

3.13. Что такое потребительская изокванта? От чего зависит угол ее наклона?

3.14. Обоснуйте основные предпосылки построения модели потребительской изокванты.

3.15. Что характеризует верхняя полурешетка потребительских изоквант? Отметьте основные ее свойства.

3.16. Сформулируйте модель потребительского выбора. Что является функционалом и ограничениями модели?

3.17. Является ли обязательным условием построения модели потребительского поведения принадлежность функции порядковой полезности потребителя классу дважды непрерывных и дифференцируемых функций? Почему?

3.18. Поясните математический и экономический смыслы множителя Лагранжа в задаче потребительского выбора.

3.19. Верно ли утверждение о том, что для любого индивида, функционирующего на рынке, предельные полезности потребляемых благ прямо пропорциональны их рыночным ценам? Ответ обоснуйте.

3.20. Верно ли утверждение о том, в точке оптимума потребительского выбора предельная полезность блага, приходящаяся на ед. его рыночной стоимости, одинакова для всех благ из потребительского набора? Ответ обоснуйте.

3.21. Какая функция называется функцией потребительского спроса? Как она определяется? Сформулируйте исходные предпосылки ее построения.

3.22. Докажите утверждение, что функция спроса является однородной нулевой степени.

3.23. Что показывает коэффициент перекрестной эластичности спроса от цен? Как он определяется?

3.24. На основе определения каких показателей выявляется принадлежность блага к группам эластичных - неэластичных, ценных - малоценных, нормальных – особенных, взаимозаменяющих – взаимодополняющих - независимых?

3.25. Покажите, что любой товар Гиффена является малоценным. Справед­ливо ли обратное?

3.26. Докажите утверждение, что изменение уровня потребительского бюджета обратно изменению предельной полезности денег.

3.27. Приведите уравнение Слуцкого. Какую зависимость оно отражает? Охарактеризуйте все слагаемые правой части уравнения.

3.28. Приведите интерпретацию понятий чистого эффекта замены и эффекта дохода.

3.29. Приведите описание модели компенсированного бюджета потребителя. Что является функционалом и ограничениями в модели?

3.30. Какой принцип использовал Л. Торнквист при построении функций спроса?

3.31. Приведите гипотезы концепций изменения потребления (спроса) под влиянием дохода, различающиеся трактовкой категории дохода как абсолютного, постоянного и относительного.

3.32. Поясните отличие модели Р. Стоуна от классической модели рационального потребительского выбора.

3.33. Приведите описание модели общего экономического равновесия Л. Вальраса. Что является функционалом и ограничениями в модели? Перечислите основные предпосылки ее построения.

3.34. Какая система цен называется равновесной? Чем характеризуется состояние равновесия?

3.35. Дайте определение функции избыточного спроса в модели общего экономического равновесия Л. Вальраса. Какими свойствами она обладает? Сформулируйте теорему о существовании набора равновесных цен.